강의 링크: https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/
2 x − y = 0 (1) 2{x} - {y} = 0 \tag{1} 2 x − y = 0 ( 1 ) − x + 2 y = 3 (2) -x + 2y = 3 \tag{2} − x + 2 y = 3 ( 2 ) 1과 2의 수식을 matrix으로 표현하면 다음과 같다.
[ 2 − 1 − 1 2 ] ⏟ A [ x y ] ⏟ X = [ 0 3 ] ⏟ b (3) \underbrace{ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} }_{X} \ = \underbrace{ \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} }_{b} \tag{3} A [ 2 − 1 − 1 2 ] X [ x y ] = b [ 0 3 ] ( 3 ) 즉, AX = b의 식으로 간단하게 표현할 수 있다.
그렇다면 반대로 위 matrix를 column picture로 그리려면 어떻게 해야할까?
x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ] (4) \mathbf{x} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \mathbf{y} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \tag{4} x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ] ( 4 ) 그리고 이 행렬을 가지고 벡터를 좌표 평면 위에 그려보자.0 + 3 0+3 0 + 3
그렇다면 여기서 질문이 있다. 만약 모든 (x, y)에 대한 값을 구해야 한다면 어떻게 구할 수 있을까?
다음 3차원 방정식을 생각해 보자.
2 x − y + 0 z = 0 − x + 2 y − z = − 1 0 x − 3 y + 4 z = 4 (5) 2x - y + 0z= 0 \\ -x + 2y - z = -1 \\ 0x - 3y + 4z = 4 \tag{5} 2 x − y + 0 z = 0 − x + 2 y − z = − 1 0 x − 3 y + 4 z = 4 ( 5 ) 이를 matrix로 변경하면 다음과 같다.
[ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 3 4 ] [ x y z ] = [ 0 − 1 4 ] (6) \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -3 & 4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 4\\ \end{bmatrix} \tag{6} ⎣ ⎢ ⎡ 2 − 1 0 − 1 2 − 3 0 − 1 4 ⎦ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎡ x y z ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 0 − 1 4 ⎦ ⎥ ⎤ ( 6 ) 아까처럼 이를 row picture로 그려보자. 아마 평면의 식이 여러 개 나올 것이고, 겹치는 부분이 있을 것이다.
그렇다면 이를 column picture로 생각해보자. 행렬을 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.
x [ 2 − 1 0 ] + y [ − 1 2 − 3 ] + z [ 0 − 1 4 ] = [ 0 − 1 4 ] (7) \mathbf{x} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} + \mathbf{y} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix} + \mathbf{z} \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \tag{7} x ⎣ ⎢ ⎡ 2 − 1 0 ⎦ ⎥ ⎤ + y ⎣ ⎢ ⎡ − 1 2 − 3 ⎦ ⎥ ⎤ + z ⎣ ⎢ ⎡ 0 − 1 4 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 0 − 1 4 ⎦ ⎥ ⎤ ( 7 ) 직관적으로 (x,y,z) = (0,0,1)의 값을 찾기가 쉽다. 이처럼 칼럼으로 접근했을 때 매력적으로 풀이가 가능하다. 그리고 이후 강의에 이러한 칼럼 조합 행렬을 통해서 모든 (x,y,z) 값을 구할 수 있는 풀이를 알려줄 것이다.
교수님 질문)
만약 하나의 평면 위에 모든 벡터가 다 포함된다면 어떨까? 이 경우는 어떤 경우일까?
아마 한 벡터가 다른 두 벡터로 표현이 가능할 경우, 벡터는 두 종류만 존재하게 되고 이로 하여금 두 벡터가 평면의 값들을 이룰 수 있을 것이다.
Ax=b 식의 행렬에 대해서 아래에서 b의 값을 어떤 식으로 구할래?
[ 2 5 1 3 ] ⏟ A [ 1 2 ] ⏟ X (8) \underbrace{ \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} }_{X} \ \tag{8} A [ 2 1 5 3 ] X [ 1 2 ] ( 8 )
"2 ∗ 1 + 5 ∗ 2 2*1 + 5*2 2 ∗ 1 + 5 ∗ 2 1 ∗ 1 + 3 ∗ 2 1*1 + 3*2 1 ∗ 1 + 3 ∗ 2
칼럼형으로 변환. (교수님 추천 방식)
1 [ 2 1 ] + 2 [ 5 3 ] = [ 12 7 ] 1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix} 1 [ 2 1 ] + 2 [ 5 3 ] = [ 1 2 7 ] 칼럼 위주의 행렬로 변환하여 풀면 더 직관적으로 풀이가 가능하다.
각 선형 방정식 x, y 2차원 평면 위에 그린 그림이다. 두 선이 만나는 부분의 좌표는 x=1, y=2라는 걸 알 수 있다.
그리고 아까 row picture에서 구했던 (x, y) = (1, 2) 좌표를 가지고 x의 벡터에 y벡터의 2배 만큼 더해보자. 그러면 과 같은 방향을 갖는 벡터가 나올 것이다.
딱 보기에도 직관적으로 이해하기가 힘들다.