[선형대수] Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs

이재호·2025년 3월 6일
선형대수

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https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

M=all 3×3 matricesM=\text{all 3$\times$3 matrices}

위와 같이 3x3 크기를 갖는 모든 행렬 집합 MM이 있다고 가정해보자.
MM의 basis는 다음과 같을 것이다.

Basis for M=[100000000],[010000000],[001000000],...,[000000001]\text{Basis for $M$}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

9차원의 basis를 갖는다.

Symmetric Matrix SS에 대해서도 구해보자. (symmetric은 AT=AA^T=A을 의미한다.)

Basis for S=[100000000],[010100000],[001000100],...,[000000001]\text{Basis for $S$}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

6차원의 basis를 갖는다.

다음으로 Upper triangle UU에 대해서 구해보자. (upper triangle은 주대각 성분 아래의 원소 값들이 모두 0인 경우를 의미한다.)

Basis for U=[100000000],[010000000],[001000000],...,[000000001]\text{Basis for $U$}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}, ..., \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

6차원의 basis를 갖는다.

그렇다면 이제 S∩US \cap U에 대해서 알아보자.

S∩U=symmetric and upper traingluar=diagonal 3×3’s=DS \cap U = \text{symmetric and upper traingluar} = \text{diagonal 3$\times$3's} = D
dim(S∩U)=3dim(S \cap U)=3

다음으로 S∪US \cup U에 대해서 생각해보자. 이 경우, 두 subspace 즉, plane이 서로 다른 곳에 존재하며 각 벡터가 다른 곳을 가리키므로 존재할 수 없는 경우이다. 따라서 S∪US \cup U는 존재하지 않는다.

대신 S+US+U를 대해서 알아보자.

S+U=any element of S + any element of U = all 3×3’sS+U=\text{any element of $S$ + any element of $U$ = all 3$\times$3's}
dim(S+U)=9dim(S+U)=9
dim(S)6+dim(U)6=dim(S+U)9+dim(S∩U)3\underset{6}{dim(S)}+\underset{6}{dim(U)}=\underset{9}{dim(S+U)}+\underset{3}{dim(S \cap U)}

즉, 어떤 두 subspaces S,US, U의 차원에 대해서 알아볼 수 있었다.

예시와 함께 rank=1의 의미를 알아본다.

A=[1452810]A= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}

위 행렬 A는 rank가 1이다.
그리고 basis는 다음과 같다.

  • basis for row-space of A : row1row_1
  • basis for column-space of A : col1col_1

그리고 차원은 다음과 같다.

dim(C(A))=rank=1=dim(C(AT))dim(C(A))=rank=1=dim(C(A^T))

즉, columnspace의 차원과 rowspace의 차원은 rank인 1과 같다.

그리고 AA는 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

A=[1452810]⏟2×3=[12]⏟2×1[145]⏟1×3A= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}}_{2\times3} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}}_{2\times1} \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}}_{1\times3}

따라서, rank가 1인 행렬 A는 다음과 같이 벡터로 표현할 수 있다.

A=uvT (u: column vector, vT: row vector)A=uv^T \text{ ($u$: column vector, $v^T$: row vector)}

R4\mathbb{R}^4에서의 예시를 생각해보자.

v=[v1v2v3v4]v= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix}
S=all v in R4 with v1+v2+v3+v4=0S=\text{all $v$ in $\mathbb{R}^4$ with $v_1+v_2+v_3+v_4=0$}

위 경우 SS는 subspace라고 볼 수 있다. 왜 그럴까?
먼저 SS의 basis 차원은 3차원일 것이다. (왜냐하면 서로 다른 3개의 viv_i로 다른 하나의 vjv_j를 표현할 수 있기 때문이다.)
그리고 위에서 v1+v2+v3+v4=0v_1+v_2+v_3+v_4=0을 통해 SS는 nullspace를 의미하는 것을 알 수 있다.

그 값은 다음과 같이 나올 것이다.

Av=[1111]⏟1×4[v1v2v3v4]⏟4×1=0Av= \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} }_{1\times4} \underbrace{ \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} }_{4\times1} = 0
  • AA의 rank는 1이라는 것을 알 수 있다. (r = 1 = pivot의 개수)
  • 그리고 dim(N(A)=S)=n−r=4−1=3dim(N(A)=S)=n-r=4-1=3 임을 알 수 있다.

그리고 SS의 basis는 다음과 같다. (1번 열은 pivot, 나머지 열은 free variable이다.)

basis for S=[−1100],[−1010],[−1001]\text{basis for $S$}= \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

그리고 AA에 대해서 다음과 같이 정리할 수 있다.

  • C(A)∈R1C(A) \in \mathbb{R^1}
  • N(AT)={0}N(A^T)=\{0\}
  • dim(N(A))+dim(C(AT))=3+1=4=ndim(N(A))+dim(C(A^T))=3+1=4=n
  • dim(C(A))+dim(N(AT))=1+0=1=mdim(C(A))+dim(N(A^T))=1+0=1=m

그리고 A=[1111]⏟1×4A=\underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} }_{1\times4} 이므로 위 정리가 맞다는 것을 확인할 수 있다.

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