[선형대수] Lecture 25: Symmetric matrices and positive definiteness

이재호·2025년 3월 19일

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https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

이번 강의에서는 다음과 같은 내용을 배운다.

우선 symmetric matrix 를 생각해보자.

A=A^T

\text{1. The eigenvalues are real.}

\text{2. The eigenvectors are perpendicular and can be chosen.}

\text{(Usual Case) } A=S\Lambda S^{-1}

\text{(Symmetric Case) } A=Q\Lambda Q^{-1} \ (Q:orthonormal \ matrix)

=Q\Lambda Q^T \ (Spetrunm \ Theorem)

어째서 $A=A^T$ 일 때 (symmetric matrix)일 때 real eigenvalues 라고 보장이 가능할까?
다음 수식을 보자.

\overline {a+ib} = a-ib \ (complex \ conjugate)

Ax=\lambda x \to \bar A \bar x = \bar\lambda \bar x \to \bar A \bar x = \bar\lambda \bar x \tag {1}

\to A \bar x = \bar\lambda \bar x \ (\text{$A=A^T$ $\to$ $A=\bar A$})

\bar x ^T A^T=\bar x ^T \bar\lambda ^T \to \bar x ^T A=\bar x ^T \bar\lambda

\bar x ^T A x=\bar x ^T \bar\lambda x \tag{2}

\text{by (1) } \bar x ^TAx =\bar x ^T \lambda x

\text{by (2) } \bar x ^T A x=\bar x ^T \bar\lambda x = \bar x ^T \lambda x

\bar x ^T \bar\lambda x = \bar x ^T \lambda x

\bar \lambda =\lambda

\therefore \text{$\lambda$ is real}

또한 $\bar x ^T \lambda x \to \lambda \bar x ^T x$ 에서 $\bar x ^T x$ 는 다음과 같다.

\bar x ^T x = \begin{bmatrix} \bar x_1 & \bar x_2 & ... \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \end{bmatrix} = \bar x_1 x_1+\bar x_2 x_2+...

그리고 $x_1=a+ib$ 라고 가정했을 때, $\bar x_1 x_1=(a-ib)(a+ib)=a^2+b^2$ 이 된다.
따라서 $\bar x ^T x \ge 0$ 이라고 볼 수 있다.
그리고 $\bar x ^T x = (length)^2$ 이다.

Symmetric matrices 를 더 알아보자.

A=Q\Lambda Q^T \ (A=A^T)

= \begin{bmatrix} | & | & ... \\ q_1 & q_2 & ... \\ | & | & ... \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & ... & ... \\ ... & \lambda_2 & ... \\ ... & ... & ... \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - & q_1^T & - \\ - & q_2^T & - \\ - & ... & - \\ \end{bmatrix}

= \lambda_1q_1q_1^T + \lambda_2q_2q_2^T + ...

q_1q_1^T, q_2q_2^T, ... \to Projection \ Matrices

따라서 다음과 같이 정리가 가능하다.

\text{`` Every symmetric matrix is a combinations of projection matrices "}

그리고 다음과 같은 이론이 존재한다.

\text{In Symmetric matrices}

\text{`` signs of pivots are same as signs of $\lambda$'s. "}

\# \ pivots =\# \ positive \ \lambda's

다음으로 다음 강의에서 배울 Positive definite (symmetric) matrix 에 대해서 정리한다.

\text{Positive definite matrix}

\text{1. All eigenvalues are positive.}

\text{2. All pivots are positive.}

\text{3. All sub-determinants are positive.}

천천히, 그리고 꾸준히.

선형대수