[선형대수] Lecture 30: Linear transformations and their matrices

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

이번 강의에서는 다음과 같은 내용을 배운다.

• Linear Transforamtion $T$
• Construct matrix $A$ that represents $T$ ( with coordinates $c$ and basis $v,w$ )

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우선 Linear Transformation $T$ 의 규칙은 다음과 같다.

$T()$ 를 함수처럼 생각하면 편하다.

예시로 Projection 을 보자.

위 그림을 봤을 때 Projection은 Linear Transformation 에 해당한다는 것을 알 수가 있다.
왜냐하면 다음과 같은 규칙을 만족하기 때문이다.

• $T(v+w)=T(v)+T(w)$
• $T(cv)=cT(v)$

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그렇다면 Linear Transformation 이 아닌 예시는 어떤 게 있을까? 다음을 보자.

Shift whole plane by $v_0$

위와 같은 벡터에 $v_0$를 더하면 아래와 같이 나온다.

이를 봤을 때, $T(2v)\ne 2T(v)$ 라는 것을 알 수가 있다.
따라서 이는 linear transformation 이 아니다.

또 다른 예시로, 다음과 같은 Transformation 을 보자.

이 역시 마찬가지로 $T(-2v)\ne-2T(v)$ 인 것을 알 수가 있다.

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그럼 계속해서 Linear Transformation 을 보자.
ex. < Rotation by 45 degrees. >

위 벡터에서 45도를 회전시킨다.

위와 같이 45도가 회전된 벡터가 나왔다.
그리고 $T(2v)=2T(v)$ 등도 만족하는 것을 알 수가 있다.

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다음으로 행렬에 대해서도 linear transformation 을 보자.

행렬에 대해서 다음 규칙은 만족된다.

• $A(v+w)=Av+Aw$
• $A(cv)=cA(v)$

예시로 다음과 같은 행렬을 보자. $A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ 를 적용하기 전에 위와 같은 모양이었다면, 이를 적용하면, $x$는 그대로, $y$는 반전된 다음과 같은 모양이 나올 것이다.

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그러면 $A$ 의 차원은 어떻게 구할 수 있을까? 다음을 보자.

이 경우 $Av$ 의 차원은 $\R^2$ 이고 $v$ 의 차원은 $\R^3$ 이므로, $A$의 차원은 $3\times 2$ 가 나올 것이다.

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다음으로 $T(v)$ 를 구하기 위한 요소들을 알아보자.

coordinates $c$'s come from a basis. ($v=c_1v_1+c_2v_2+...+c_nv_n$)

ex. $v=\begin{bmatrix}3 \\ 2 \\ 4\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$

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이제 linear transformation 을 나타내는 행렬 $A$ 를 구해보자.

• choose basis $v_1,...,v_n$ for inputs in $\R^n$
• choose basis $w_1,...,w_n$ for outputs in $\R^m$

ex. projection

위 $v$ 를 아래와 같이 나오도록 linear transformation 을 적용해보자.

이 경우 linear transformation $T$ 는 다음과 같다.

이를 만족하는 $A$ 는 무엇일까?

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위 예시와 같은 행렬 $A$를 찾는 규칙은 다음과 같다.

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또 다른 예시로 미분을 알아보자. 미분 역시 linear Transformation 에 해당한다.

• input : $c_1+c_2x+c_3x^2$ , basis : $1,x,x^2$
• output : $c_2+2c_3x$ , basis : $1,x$