[선형대수] Lecture 6: Column space and nullspace

이재호·2025년 3월 1일

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https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/video_galleries/video-lectures/

먼저 vector space에 대한 정의는 다음과 같다. ( $v, w$ : vector, $c, d$ : scalar value)

\text{`$v+w$' and `$cv$' are in the space.}

=\text{all combinations `$cv + dw$' are in the space.}

다음으로 $\mathbb{R}^3$ vector space의 subspace를 생각해보자.

a plane through zero vector : $P$
a line through zero vector : $L$

그렇다면 $P \cup L$ 과 $P \cap L$ 은 subspace일까? 아닐까?
결론은 다음과 같다.

$P \cup L$ : not subspace
$P \cap L$ : subspace

직관적으로 $\mathbb{R}^3$ 공간에서 모든 벡터 간 합집합은 표현할 수가 없다. 하지만 교집합은 표현할 수가 있다.

따라서 정리하면,

\text{for subspaces $S$ and $T$,}

\text{$S \cap T$ is a subspace also.}

다음으로 Column space의 예시를 살펴보자.

\text{Column space of A(=$C(A)$) is a subspace of $\mathbb{R}^4$.}

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}

C(A) = \text{all linear combinations of columns of $A$}.

그리고 만약 $Ax=b$ 라는 식이 주어졌을 때, 모든 $b$ 에 대해서 값을 찾을 수 있을까?
대답은 "No"다.

Ax = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ \end{bmatrix}

그렇다면 어떤 $b$ 에 대해서 값을 찾을 수 있을까?
"Which b's allow this system to be solved?"

$b=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ 에서 $x=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ 을 구할 수 있다.
$b=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix}$ 에서 $x=\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ 을 구할 수 있다.
$b=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}$ 에서 $x=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}$ 을 구할 수 있다.

즉, " $b$ 가 $A$ 의 칼럼들의 조합(= $C(A)$ )에 포함되어 있을 경우, $Ax=b$ 에 대한 값을 찾을 수 있다."

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}

그리고 $A$ 에 대해서, $col_3=col_1+col_2$ 이므로 이를 4차원 벡터 공간에 표시하면, vector는 2개만 존재할 것이다(="2-dimensions subspaces in $\mathbb{R}^4$ ").
그리고 이처럼 한 칼럼이 다른 칼럼들의 조합으로 표현이 가능한 경우, 이를 "dependent"라고 표현할 수 있다.

그러면 다음으로 "null space"에 대해서 알아보자.
정의와 예시는 다음과 같다.

\text{$N(A)$ : null spaces of $A$.}

Ax = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \ = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

\text{$N(A)$ : all solutions `$x=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}$' to $Ax=0$.}

그리고 위 예시에서 $Ax=0$ 을 만족하는 $x$ 를 구해보자.

$\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}-1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ , ...