[선형대수] Lecture 9: Independence, basis, and dimension

이재호·2025년 3월 5일
선형대수

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A:m×nA : m\times n

위와 같은 행렬 AA는 방정식보다 변수의 수가 더 많을 것이다. 그리고 이로 인해 free variables가 무조건 있을 것이다. 따라서 0이 아닌 벡터가 존재할 것이다.

  • more unknows than equations -> there will be free variables - > there are non-zero solutions.

그리고 "Independence"를 다음과 같이 정의한다.

Vectors x1,x2,...,xn are independent if no combination gives zero vector.(except the zero combination)\text{Vectors $x_1,x_2,...,x_n$ are independent if no combination gives zero vector.} \\ \text{(except the zero combination)}

즉, 0 벡터를 제외하고 다른 벡터들과의 조합으로 0 벡터를 만들 수 없으면 이는 "independent"라고 할 수있다.

반면에 "dependent"인 예시는 다음과 같다.

  • v1=2v2v_1=2v_2
  • v1=v2+v3v_1=v_2+v_3

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

when v1,v2,...,vn in columns of A,- They are independent if nullspace of A is only zero vector : rank=n(no free variables)- They are dependent if Av=0 (for some non-zero v) : rank<n\text{when $v_1,v_2,...,v_n$ in columns of $A$}, \\ \text{- They are independent if nullspace of $A$ is only zero vector : $rank=n$(no free variables)} \\ \text{- They are dependent if $Av=0$ (for some non-zero $v$) : $rank<n$}

즉, 행렬 nn개의 칼럼을 갖는 AA에 대해서,

  • 만약 N(A)=0N(A)=0의 정답 벡터가 오직 0 벡터밖에 없다면, 이는 rank=nrank=n(=no free variables)를 의미하고, 이때 AA는 "independent"라고 볼 수 있다.
  • 반면에 Av=0Av=0에서 0이 아닌 정답 벡터가 있다면, 이는 rank<nrank<n(=yes free variables)을 의미하고, 이때 AA는 "dependent"라고 볼 수 있다.

그렇다면 벡터를 중심으로 다시 생각해보자. 벡터들이 공간을 확장(span)할 수 있다는 건 어떤 의미일까? 예를 들어 만약 3차원 공간에서 벡터들의 값이 independent라면, 이는 확장할 수 있을 것이다. 하지만 dependent라면 0벡터로 가게 되고, 이는 확장이 되지 않을 것이다.

  • v1+v2=v3v_1+v_2=v_3 ---> v3−v1−v2=0v_3-v_1-v_2=0

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

Vectors v1,v2,...,vn span a space.=The space consists of all combinations of those vectors.\text{Vectors $v_1,v_2,...,v_n$ span a space.} \\ = \text{The space consists of all combinations of those vectors.}

그렇다면 이제 "basis"에 대해서 알아보자. 우선 다음과 같이 정리한다.

Basis for a space is a sequence of vetors v1,v2,...,vd with 2 properties.1.They are independent.2.They span the space.\text{Basis for a space is a sequence of vetors $v_1,v_2,...,v_d$ with $2$ properties.} \\ 1. \text{They are independent.} \\ 2. \text{They span the space.}

예시로 R3\mathbb{R}^3 공간을 들어보자.

  • One basis is [100],[010],[001]\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} : 보면 각 벡터들은 independent하다는 것을 알 수 있으며, 세 벡터를 조합하여 모든 공간을 표현할 수 있다. 따라서 이는 적절한 basis라고 볼 수 있다.

  • Another basis is [112],[225],[338]\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 5\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 8\end{bmatrix} : 마찬가지로 벡터들은 서로 independent하며, 세 벡터를 조합하여 모든 공간을 표현할 수 있다.

    하지만, 위 [112],[225],[338]\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 5\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 8\end{bmatrix}는 basis가 아니다. 왜냐하면, [338]=−[112]+2[225]\begin{bmatrix}3 \\ 3 \\ 8\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 5\end{bmatrix}이므로, not independent 이기 때문이다. 이는 다음 강의에서 오류가 있다고 정정하였다.

이를 좀더 일반화하면 다음과 같이 정리할 수 있겠다.

In Rn, n vectors give basis if the n×n matrix with those columns is invertible.\text{In $\mathbb{R}^n$, $n$ vectors give basis if the $n \times n$ matrix with those columns is invertible.}

즉, Elimination을 했을 때, 0이 되는 칼럼 혹은 로우가 존재하지 않을 경우 n×nn\times n 행렬에 대한 basis는 nn개의 벡터로 구성될 것이다.

또한 다음과 같은 점들도 알 수 있다.

when given a space,Every basis for the space has the same number of vectors (=dimensions of the space).\text{when given a space,} \\ \text{Every basis for the space has the same number of vectors (=dimensions of the space).}

위 예시처럼 R3\mathbb{R}^3 공간의 벡터는 3개이고, 3차원 공간이다. 따라서 basis도 똑같이 3개의 벡터를 갖는다.

이제 예시를 통해 정리를 해보자.

C(A)=[123111211231]→not independentC(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \text{not independent}

AA의 칼럼 공간인 C(A)C(A)는 위와 같다. 그리고 다음과 같은 점을 통해 not independent하다는 것을 알 수 있다 : col1+col2=col3col_1+col_2=col_3, col1=col4col_1=col_4

한번 N(A)N(A)를 구해보자.

N(A)=c1[−1−110]+c2[1001]N(A) = c_1\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

C(A)C(A)에서 pivot 칼럼은 1과 2이다. 따라서 free variables인 3, 4를 0 혹은 1로 두고 An=0An=0을 구했을 때 결과가 위와 같이 나올 것이다.

그리고 basis를 구해보자.

one basis of C(A)=[111]⏟col1,[212]⏟col2\text{one basis of $C(A)$} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}}_{col_1} , \underbrace{ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}}_{col_2}

위 basis는 여러 개 basis 중 하나로, col1col_1과 col2col_2의 조합으로 나머지 col3col_3, col4col_4를 표현가능하기에
col1col_1과 col2col_2만 basis로 선택하였다.

그리고 다음과 같은 법칙을 발견할 수 있다.

r=rank(A)=2=number of pivot columns=dimension of C(A)r=rank(A)=2=\text{number of pivot columns} = \text{dimension of $C(A)$}
dimension of N(A)=number of free columns=4−2=n−r\text{dimension of $N(A)$} = \text{number of free columns} = 4-2 = n-r

위에서 한 가지 주의할 점이 "dimension of C(A)C(A)" 부분이다. 이는 AA의 칼럼 공간인 C(A)C(A)의 차원을 의미하는 것이지, AA의 차원을 의미하는 게 아니다.

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