📌 선형 사상과 일대일 변환 정리

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1. 선형 사상(Linear Transformation)이란?

• 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로 구조를 유지하며 매핑하는 함수.
• 두 가지 성질을 만족해야 함:
  1. 덧셈 보존: $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
  2. 스칼라 곱 보존: $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$
• 모든 행렬 변환은 선형 변환이다.

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2. 일대일(Injective) 선형 변환

• $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 이 일대일이려면 $\ker(T) = \{ \mathbf{0} \}$ 이어야 함.
• 즉, $Ax = 0$ 의 해가 유일해야 하며, Null Space가 영벡터만 포함해야 함.
• 행렬 $A$ 가 열 벡터들이 선형 독립이면 $T$는 일대일이다.
• Rank-Nullity 정리에 의해 $\text{rank}(A) = n$ 이면 일대일이다.

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3. $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n-1}$ 는 일대일일 수 없다

• 행렬 $A$ 가 $(n-1) \times n$ 이면, Rank는 최대 $n-1$ 이므로 Null Space 차원 $\geq 1$.
• Null Space가 0이 아니므로, 일대일이 될 수 없음.
• 즉, $\mathbb{R}^n$을 $\mathbb{R}^{n-1}$ 로 변환하면 반드시 정보 손실이 발생함.

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4. 일대일 변환과 선형 독립성 보존

• 일대일 변환은 선형 독립성을 보존한다.
• 즉, $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 가 일대일이면,
  $\{ v_1, v_2, ..., v_p \}$ 가 선형 독립이면, $\{ T(v_1), T(v_2), ..., T(v_p) \}$ 도 선형 독립이다.
• 증명:
  $c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \dots + c_p T(v_p) = 0$ 이면,
  $c_1 = c_2 = \dots = c_p = 0$ 이어야 함.

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✅ 결론

• 선형 변환이 일대일이면 Null Space가 0만 포함한다.
• $n > m$이면 반드시 Null Space가 존재하므로 일대일이 될 수 없다.
• 일대일 변환은 선형 독립성을 보존한다. 🚀