(23S) [EE381] Control System Engineering

Chapter 1. Introduction to Control Systems

• Input $\rarr$ $\text{<Process>}$ $\rarr$ Output의 control system에 대한 기본 개념.
  : Open-loop/Closed-loop, MIMO/SISO

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Chapter 2. Mathematical Models of Systems

• 복잡한 system을 분석하기 위해, 1) Taylor series expansion을 통한 linear approximation을 사용하여 linear DE를 얻어낸 후, 2) Laplace transform을 적용하여 time-response solution을 구할 수 있음.

  • Laplace transform으로 얻어낸 rational function에 대해 각 pole에 대한 residue를 계산하는 partial fraction expansion 수행하면 inverse Laplace transform 수행 가능. 이 때, pole이 positive real part를 갖는다면 exponentially diverse하는 response를 가지게 되어 unstable함.
  • Physical system에서 transfer function 세우는 연습.

• 특히, Laplace transform 형태로 정의되는 transfer function은 block diagram/signal-flow graph를 그린 뒤 Mason's rule을 적용해 간편히 구할 수 있음. (BD와 SFG 사이의 변환도 할 줄 알아야 함)

1. 기본 Laplace transform 공식 숙지
   $L\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}$, $L\{sin\text{ }\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$, $L\{cos\text{ }\omega t\}=\frac{s}{s^2+\omega^2}$
   $L\{u(t)\}=\frac{1}{s}$, $L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}$
   $L\{f^{(k)}(t)\}=s^kF(s)-s^{k-1}f(0^-)-s^{k-2}f'(0^-)-\cdots-f^{k-1}(0^-)$
   $\rarr$ Initial condition omit하지 않기
2. Physical system에서 transfer function 세우기
3. Equivalent block diagram 그리기
   $\rarr$ Summing point 위치에 유의하기
4. Equivalent signal-flow graph (summing/pickoff point를 node로, block을 branch의 gain으로) 그리고 Mason's rule 적용하여 transfer function 구하기(forward path와 loop, determinant 먼저 구해놓기)

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Chapter 3. State Variable Models

• 임의의 dynamic system이 주어졌을 때, 현재의 모든 정보가 담긴 state를 정의하면 $k^{th}$-order DE로 표현 가능. 이 때, $k$개의 variable을 이용해 first-order DE로 변환하는 trick으로 $1^{st}$-order state DE로 변환.
• 이후의 내용은 state DE를 세우고 이로부터 signal-flow graph/block diagram(phase variable, input feedforward, decoupled state), transfer function, time response를 각각 구하는 방법.
  • 특히, state transition matrix $\Phi(t)$를 여러 방법으로 구할 수 있으며, 이는 time response $x(t)$를 구하는 데 필요.

1. $k^{th}$ DE나 multivariable DE's에 parametrization 적용하여 $1^{st}$-order state DE 세우기
2. 주어진 transfer function에 대해서도 state DE 세우기 (partial fraction expansion으로 decoupling하여 state의 각 원소들이 서로 independent한 diagonal canonical form도 세울 수 있음)
   ex. $T(s)=Y(s)/R(s)=\frac{k_1}{s-p_1}+\frac{k_2}{s-p_2}+\frac{k_3}{s-p_3}$ ($X_i=\frac{R(s)}{s-p_i}$) $\cdots$ diagonal canonical form
   $\text{ }\text{ }\text{ }\Rarr$ $\dot{x}(t)=diag[p_1, p_2, p_3]x(t)+[1 \text{ }1 \text{ }1]^Tr(t)$, $y(t)=[k_1\text{ } k_2\text{ } k_3]x(t)$
3. 일반적으로 구해진 state DE는 phase variable form: $\dot{x}=Ax+Bu, y=Bx$. 이를 변수들을 반대 순서로 정의해준 뒤 $\dot{x}=A^Tx+C^Tu, y=B^Tx$ 형태의 input feedforward form으로 변환 가능 $\cdots$ input feedforward canonical form
4. State DE를 block diagram/signal flow graph로 그리기 (main path는 $\frac{1}{s}$의 integrator로 구성)
5. State transition matrix $\Phi(s)$
   $\Rarr$ $x(t)=e^{At}x(0)+\int_0^te^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$
   $\Rarr$ $X(s)=[sI-A]^{-1}x(0)+[sI-A]^{-1}BU(s)$
   $\Rarr$ $\Phi(t)=e^{At}=I+tA+\frac{t^2}{2}A^2+\cdots$, $\Phi(s)=[sI-A]^{-1}$
   i) if $u(t)=0$ (no input)
      $x(t)=\Phi(t)x(0)$, $X(s)=\Phi(s)x(0)$
   ii) if $x(0)=0$ (zero initial state)
      $T(s)=C\Phi(s)B+D$

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Chapter 4. Feedback Control System Characteristics

System의 전반에 대해 알아봤다면, feedback loop가 noise에 미치는 영향에 대해 살펴봄.

• Closed-loop system의 전반적인 특성을 다룸.
• Disturbance input $T_d(s)$와 measurement noise $N(s)$ 도입, tracking error $E(s)$, loop gain $L(s)$, sensitivity $S(s)$ 정의.
• Feedback control system에서 주로 low frequency의 disturbance input은 loop gain이 커야 tracking error에 주는 영향이 작아지고(disturbance rejection), 주로 high frequency의 measurement noise는 loop gain이 작아야 tracking error에 주는 영향이 작아지므로(measurement noise attenuation), loop gain이 low frequency에서 큰 값을 갖도록 설계하면 (장점1) 두 noise의 영향력을 줄일 수 있음.
• Feedback을 추가하면 reverse Laplace transform으로 time response를 구해봤을 때, (장점2) transient response의 속도가 빨라지며, (장점3) steady-state error가 감소함.
• 다만 system의 complexity 증가, gain 감소, instability의 가능성 등의 단점 존재.

Transfer function 구하고 그에 대한 steady-state error와 sensitivity 구하는 게 전부.
1. Tracking Error: $E(s)=R(s)-H(s)Y(s)$ $\text{ }\text{ }\rarr$ $(Y(s)-R(s))$가 아님에 유의
  cf. Steady-State Error: $e_{ss}=\lim_{s\rarr0}s[R(s)-Y(s)]$
2. Sensitivity: $S_G^T=\frac{\partial T}{\partial G}\cdot\frac{G}{T}$ (+ chain rule 적용 가능)
3. Unit step input, unit step disturbance 각각에 대한 steady-state error 계산. + 'The effect of ...'라고 하는 경우 transfer function 구하기.

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Chapter 5. The Performance of Feedback Control Systems

• Test signal은 Laplacian 식의 차수에 따라 impulse, step, ramp, parabolic 등으로 나뉨.
• 임의의 second-order system의 Laplacian transfer function으로부터 time-response 식을 구하고, rise time $T_r$, peak time $T_p$, settling time $T_s$, percent overshoot $P.O.$, steady-state errror $e_{ss}$ 등의 performance measures를 계산.
• 반대로 time-response로부터 damping ratio 등의 system property를 역추적할 수도 있음.
• Second-order system에 대하여 3rd pole & zero는 기존의 pole과 충분히 떨어져 있다면 그 효과를 무시할 수 있음.
• Step, ramp, parabolic input 각각은 type number에 따라 steady-state error의 수렴 여부가 결정되며, 유한한 값으로 수렴하는 경우에는 각각 position, velocity, acceleration error constant 값이 그 수렴값을 결정함.
• System의 성능을 결정짓는 performance index는 ISE, IAE, ITAE, ITSE 등 settling time까지의 error의 적분값에 해당.
• 임의의 higher-order transfer function은 second-order로 approximate할 수 있어 앞선 performance measure 근사 가능.

1. Test input signal
   Step: $r(t)=A$, $R(s)=\frac{A}{s}$
   Ramp: $r(t)=At$, $R(s)=\frac{A}{s^2}$
   Parabolic: $r(t)=At^2$, $R(s)=\frac{2A}{s^3}$
2. Standard form of transfer function: $T(s)=\frac{\omega^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}$
3. Transient responses (1, 2: swiftness / 3, 4, 5: closeness)
   0) Unit step response: $y(t)=1-\frac{1}{\beta}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_n\beta t+\theta)$
   1) Rise time $T_r$: 0-100% (10-90% for overdamped cases)
   2) Peak time $T_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$
   3) Percent overshoot $\text{P.O.}=100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}$
   4) Settling time $T_s$ ( if $\zeta<<1 \Rarr \beta=\sqrt{1-\zeta^2}\approx1$ )
      If $\delta=0.02 \Rarr e^{-\zeta\omega_nT_s}<0.02 \Rarr$ $T_s=\frac{4}{\zeta\omega_n}=4\tau$
   $\text{ }\text{ }\rarr$ $s$의 좌표가 $(-\zeta\omega_n, \omega_n\beta)$, $\zeta$는 $\cos\theta$ 임을 활용!
   5) Steady-state error $e_{ss}=\lim_{s\rarr0}s[R(s)-Y(s)]$
   +) Settling time까지 보이는 cycle의 수: $fT_s=\frac{4}{\omega_n\zeta}\frac{\omega_n\beta}{2\pi}\approx\frac{0.6}{\zeta}$
4. 새롭게 추가된 pole 혹은 zero가 기존의 pole보다 10배 이상으로 크다면 transient response의 변화를 무시할 수 있음. 단, final value가 변하지 않도록 상수항을 조정해야 함.
5. Steady-state error의 수렴성을 결정짓는 type number $N$
   $e_{ss}=\lim_{s\rarr0}\frac{sR(s)}{1+G_c(s)G(s)}$, $G_c(s)G(s)=\frac{K\text{ }\Pi(s+z_i)}{s^N\Pi(s+p_k)}$
   Input의 종류에 따라 $e_{ss}$ 식을 써두고 $\lim_{s\rarr 0}s^kG_c(s)G(s)$의 항에 집중하기!
   ($k$와 $N$이 같은 경우가 position/velocity/acceleration error constant)
6. Performance Indices
   ISE=$\int_0^Te^2(t)dt$, IAE=$\int_0^T|e(t)|dt$, ITSE=$\int_0^Tte^2(t)dt$, *ITAE=$\int_0^Tt|e(t)|dt$
7. Simplification of Linear Systems
   Final value가 같도록 설정된 $G_L(s)$에 대해, $G_H(s)/G_L(s)=M(s)/\Delta(s)$로 두고, $M^{(k)}(0)$, $\Delta^{(k)}(0)$를 먼저 계산. 이후, $M_2=-\frac{M^{(0)}(0)M^{(2)}(0)}{0!\text{ }2!}+\frac{M^{(1)}(0)M^{(1)}(0)}{1!\text{ }1!}-\frac{M^{(2)}(0)M^{(0)}(0)}{2!\text{ }0!}$ 같은 형태의 $M_{2q}, \Delta_{2q}$를 구해 연립하여 $G_L(s)$ 도출.

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Chapter 6. The Stability of Linear Feedback Systems

• BIBO stability, absolute stability, relative stability, marginal stability 등에 대한 개략적인 개념.
• Stable system에 대해, characteristic polynomial의 모든 계수가 0이 아니고 부호가 같다는 조건은 필요조건. 이를 만족하지 않으면 unstable.
• Routh array 첫 번째 열의 sign change 횟수가 positive real parts에 놓이는 pole의 개수와 같으므로, 첫 번째 열의 부호가 모두 같다는 조건은 필요충분조건에 해당. 이를 통해 absolute stability와 marginal stability 판별 가능.
• Imaginary axis가 shift되었을 때 root 값을 통해 relative stability도 측정 가능.
• 이제 임의의 linear feedback system에 대해, stability에 대한 specification도 추가됨.

1. Stable system의 1)necessary condition은 'characteristic polynomial의 모든 coefficient가 nonzero이며 같은 부호를 갖는 것'. 2)necessary&sufficient condition은 '모든 pole이 negative real part에 놓인다는 것' or 'RH criterion을 만족하는 것'.
2. 주어진 characteristic polynomial $\Delta(s)$에 대해 Routh array를 세우고, 첫 번째 열의 부호만 확인.
   1) 모두 양수 혹은 음수인 경우 stable.
   2) 0이 존재하며 그 행에 nonzero element가 있는 경우 unstable. (0을 $\epsilon$으로 두고 부호 따져보기)
   3) 0이 존재하며 그 행 모두가 0인 경우 marginally stable or unstable. (Auxiliary polynomial으로 $j\omega$-axis 상 root 찾아서 repeated root 존재할 경우 unstable)
   $\rarr$ Marginally stable 자체가 repeated root을 발생시키는 input이 들어올 경우 unstable해짐.
3. Characteristic equation 구하기
   1) Signal-flow graph는 Mason's law의 determinant 계산.
   2) Block diagram은 reduction 후 $1+G_c(s)G(s)$ 계산
   3) Differential equation은 $\det(sI-A)$ 계산

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Chapter 7. The Root Locus Method

Time domain에서 system을 분석하는 root locus method.

• Root Locus Method: Closed-loop system의 특정 parameter가 변화할 때 그에 따라 반응하는 system의 pole 위치 변화를 그래프 형태로 모사하는 방법.
• Characteristic equation을 polar form으로 해석하여 magnitude criterion과 angle criterion 각각을 만족하도록 root locus를 그려야 함.
• 고차원의 transfer function으로 구성된 system에 대해, root locus를 개략적으로 그리는 7-step.
  $\Rarr$ Open-loop의 poles/zeros를 찾아 홀수번째 fragment를 추리고, pole에서 zero로 향하도록. 향할 zero가 없는 경우는 $\sigma_A$, $\phi_A$로 구성된 asymptote를 따라 발산하며, RH criterion으로 $jw$-axis와의 교점 계산, $p(s)$를 미분하여 breakaway point 계산 가능. 그 외의 complex poles/zeros의 경우 phase angle criterion으로 s-plane 상에서 departure/arrival angle 특정 가능.
• Multiple parameter의 경우엔 나머지 parameter를 0으로 두고 root locus를 구하며 순서대로 값 지정.
• System의 transfer function에서와 마찬가지로, root에 대한 parameter $K$의 root sensitivity $S_K^{r_i}$ 정의 가능. Root sensitivity가 작을수록 system에 대한 sensitivity도 작아져 robust한 system.
• ★Proportional($K_p$), integral($K_I$), derivative($K_D$) gain으로 구성된 PID controller. 원점에서의 origin과 두 개의 zero를 가짐.
• 주어진 specification에 따라 각 gain을 결정하는 PID tuning. $K_p$는 $e_{ss}$를 감소시키는 역할, $K_I$는 zero $e_{ss}$를 만드는 역할, $K_D$는 $P.O.$와 $T_S$를 감소시키는 역할.
  • Manual tuning: Edge of oscillation까지 $K_p$를 증가시킨 뒤, 그 절반 값에서 1/4 값까지 서서히 줄여가며 step response를 살펴보는 방법(quarter amplitude decay). 이후 $K_p$ 값 고정하여 $K_I$와 $K_D$도 순서대로 결정.
  • Ziegler-Nichols tuning: Manual tuning과 비슷하게 ultimate gain $K_U$와 ultimate period $T_U$를 구하여 table에 대입해 gain 값을 정하는 closed-loop method. 한편 controller off-line의 reaction curve에서 transport delay $\Delta T$, reaction rate $R$을 구해 table에 대입하는 open-loop method. $\rarr$ 이후 fine-tunning 필요.
• Negative gain의 경우, angle constraint만 전부 달라짐. (Matlab에서는 negative gain을 지원하지 않으므로 numerator의 부호를 바꾼 뒤 결과값의 부호를 다시 바꾸는 방식 사용)
• 이전의 controller design task에서 design specification이 주어졌을 때 그에 적절한 PID controller를 택하는 design examples.

1. Root Locus 7-step Method
2. PID Tuning: Manual, Ziegler-Nichols (Closed/Open Loop)
3. Negative gain은 root locus method의 phase constraint만 변화.

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Chapter 8. Frequency Response Methods

Sinusoidal input signal에 대한 steady-state response. Amplitude와 phase angle에만 변화 발생.

• s-space에서의 transfer function에서 $s$를 $j\omega$로 치환. Real part와 imaginary part로 표현되는 함수를 magnitude와 phase로 변환하여 표현(polar plot representation).

Frequency domain에서 system을 분석하는 Bode plot.

• Bode plot: Frequency domain에서의 transfer function에 대해, small frequency와 large frequency에서의 근사 함수 및 break(corner) frequency에서의 값을 구한 뒤 근사 그래프 생성.
• Logarithmic frequency scale에서, frequency가 10배 커지는 것을 decade, 2배 커지는 것을 octave라고 칭함.
• 일반적인 frequency response plot의 형태를 결정짓는 네 가지 factors: Constant gain $K_b$, Poles/Zeros at the origin $j\omega$, Poles/Zeros on the real axis $j\omega\tau+1$, Complex conjugate poles/zeros $1+(2\zeta/\omega_n)j\omega+(j\omega/\omega_n)^2$
  $\rarr$ Maximum value $M_{p\omega}$를 갖는 resonant frequency $\omega_r$, low-frequency value에서 3dB 떨어진 값을 갖는 bandwidth frequency $\omega_B$.
  $\rarr$ 각각이 형성하는 Magnitude + Phase characteristic.
  $\rarr$ Damping ratio에 대한 함수로 주어지는 resonant frequency에서의 $M_{p\omega}$는 time response와 frequency response 간의 관계에 해당.
• Zero가 모두 right-hand s-plane에 놓이는 nonminimum phase, left-hand s-plane에 놓이는 minimum phase transfer function. 고정된 amplitude curve에 대해 nonminimum phase TF는 pole과 zero의 phase difference를 maximize하지만 unstable pole을 상쇄시키는 역할.
• Wave analyzer로 얻어낸 임의의 Bode plot에 대해 transfer function을 reconstruct할 수도 있음.
• $\omega_n$, $\omega_B$, $M_{p\omega}$ 등의 frequency domain features와 $P.O.$, $\zeta$, $T_r$, $T_s$, $K_p(K_v)$ 등의 time domain features간 관계. System design에선 frequency domain features에 대한 specification 추가.

1. Bode plot: Constant gain, Poles/Zeros at the origin, Poles/Zeros at the real axis, Complex conjugate poles/zeros 각각에 대한 magnitude/phase graph 숙지.
2. Maximum value $M_{p\omega}=|G(j\omega_r)|=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \text{ }\text{ }\text{ }(\zeta<0.707)$
   Resonant frequency $\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$
   Bandwidth frequency $\frac{\omega_B}{\omega_n}\approx-1.19\zeta+1.85 \text{ }\text{ }\text{ }(0.3\le\zeta\le0.8)$

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Chapter 9. Stability in the Frequency Domain

Bode plot에 이어, frequency domain에서 system을 분석하는 Nyquist plot, Nichols chart.
Relative stability criterion.

• Relation $F(s)=\Delta(s)$로 mapping한 contour map $\Gamma_F$. 각 성분이 보존되는 conformal mapping. (F(s)의 zero가 모두 left-hand $s$-plane에 위치해야 stable)
• Nyquist criterion의 기반이 되는 Cauchy's theorem: Poles/Zeros를 지나지 않는 contour $\Gamma_S$가 $Z$개의 zero와 $P$개의 pole을 시계방향으로 감싸는 경우, 그에 해당하는 $F(s)$-plane contour $\Gamma_F$는 원점을 $(Z-P)$회 만큼 시계방향으로 둘러쌈.
• Contour $\Gamma_S$를 entire right-hand $s$-plane(Nyquist contour)으로 두었을 때, 만약 zero를 포함(unstable)한다면, $F(s)$-plane의 $\Gamma_F$(Nyquist plot)는 원점을 포함하게 됨. (origin에 pole이 있는 경우 origin을 포함하지 않도록 Nyquist contour 설정)
• 따라서, $F(s)=1+L(s)$의 $L(s)$-plane으로 mapping한 contour $\Gamma_L$에 대해, $(-1,0)$을 $N=-P$회 만큼 감싸야 함 ($N<0$의 경우 반시계방향 의미).
  $\rarr$ Open-loop TF를 통해 closed-loop system의 stability를 판별(Closed-loop TF의 pole이 right $s$-plane에 없어야 한다는 조건 = Open-loop TF에 대한 Nyquist plot이 (-1,0)을 감싸지 않아야 한다는 조건).
• $L(s)$에 대한 Nyquist plot을 그릴 때, $\omega$가 0일 땐 반지름이 무한대인 영역으로, $\omega$가 무한대일 땐 원점으로 mapping되며, 음수인 경우 양수의 경우와 대칭이므로 $0_+<\omega<\infin$에 대해서만 plotting 해주어도 충분.

Relative stability와 Nichols chart.

• Relative stability에 대한 metric인 gain margin(G.M.)과 phase margin(P.M.): Real axis와의 교점과 (-1,0) 간 거리를 의미하는 gain margin, 원점으로부터 1만큼 떨어진 지점의 각도를 의미하는 phase margin $\rarr$ 둘 다 클수록 stable하며, Bode plot과 log-magnitude-phase-angle diagram에서 쉽게 구할 수 있고, 이 또한 time reponse와 frequency response간 관계.
  *Frequency response의 크기가 1인 crossover frequency $\omega_c$ $\rarr$ $\omega_c$에서의 $\phi$가 phase margin.
• 이번엔 open-loop frequency response와 closed-loop frequency response 간 관계: Closed-loop TF 식을 magnitude $M$과 phase angle $\phi$에 대해 원의 방정식 형태로 정리한 constant M-circles, constant N-circles $\rarr$ 각각을 log-magnitude-phase-diagram 상에 나타낸 Nichols chart: Open-loop plot으로부터 closed-loop에 대한 $M_{p\omega}, \omega_r$과 그 때의 phase angle을 쉽게 구할 수 있음.
• System bandwidth도 response의 speed 및 settling time과 연관된 유용한 측정값.

Pure Time delay.

• Phase 값을 줄이는 time delay. No time-delay에서의 phase margin이 클수록 더 긴 time delay 부여 가능. 또한 $K_P$ 값으로 $\omega_c$ 값을 바꾸어 $P.M.$을 조절할 수 있음. (Time delay는 rational function으로 표현되지 않기에 Nyquist plot이 진가를 발휘함.)
• 이젠 design specification에 phase margin과 time-delay도 포함.

1. Nyquist Stability Criterion: 무한 반원 형태의 Nyquist contour를 L(s)에 따라 mapping하여 $\Gamma_L$ 그리기 ($0_+<\omega<\infin$의 범위에 대해서만으로도 충분)
2. Relative Stability : Closed-loop system에 대해 Open-loop gain으로 분석
   Gain Margin = $20\log\frac{1}{d}$
   Phase Margin (Crossover frequency $\omega_c$에서의 phase, $\zeta\approx0.01\phi_{pm}$)
   $\rarr$ Bode plot과 Log-magnitude-phase plot에서 각각 찾아내기
3. Constant M/N-Circles : Closed-loop gain에 대한 amplitude/phase
   $\rarr$ Nichols Chart : Open-loop gain plot에 대해, closed-loop plot과의 접점으로 closed-loop에서의 값들 얻어내기
4. Bandwidth Frequency : Response speed와 비례, $T_s$와 반비례.
5. Time Delay : $G_d(s)=e^{-sT}$.
   *Time delay를 추가 $\rarr$ Phase plot을 아래로 평행이동 $\rarr$ $\omega_c$에서의 phase($\text{P.M.}$)이 음수가 되면 unstable.
   *Time delay를 추가 $\rarr$ Nyquist plot 변화 $\rarr$ (-1, 0)을 감싸는 순간부터 unstable.
   *일정 time delay를 부여하기 위해선 $\text{P.M.}$을 증가시켜야 하고 이를 위해 $K_p$ 값 감소($\omega_c$ 감소) 가능 $\rarr$ $e_{ss}$가 증가.

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Chapter 10. The Design of Feedback Control Systems

앞서 배운 모든 내용을 활용하여, cascade/phase-lead/phase-lag/prefilter/deadbeat compensator를 design하는 방법.

Time Domain	Frequency Domain
$T_p, P.O., T_s, e_{ss}$	$M_{p\omega}, \omega_r, \omega_B, G.M., P.M.$
Root locus method	Nyquist plot, Bode plot, Nichols chart

• Cascade Compensator : 하나의 pole, 하나의 zero로 구성. Zero가 선행되면 Phase-Lead, pole이 선행되면 Phase-Lag. Zero와 pole의 크기 비율 $\alpha$와 maximum/minimum phase에 해당하는 $\omega_m$을 알맞게 설정하는 것이 목적.
• Phase-Lead Compensator : 새로운 $\omega'$에 phase를 $\phi_m$만큼 더하여 $\text{P.M.}$ 상승
  • Bode Plot
    : $\zeta, \omega_n$ (Transient response) $\Rarr$ Desired $\text{P.M.}$과 Uncompensated $\text{P.M.}$ 통해 필요한 $\phi_m$ 계산 $\Rarr$ $\sin\phi_m=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ 통해 $\alpha$ 계산 ($K/\alpha=1$로 설정) $\Rarr$ Uncompensated magnitude 값이 $-10\log_{10}\alpha$인 $\omega_c'$ 찾아 $p, z$ 값 계산
  • Root Locus
    : $\zeta, \omega_n$ (Transient response) $\Rarr$ Desired root locus 그리기 $\Rarr$ Desired roots 바로 아래에 zero 두고, angle criterion으로 pole 결정, magnitude criterion으로 K 결정 (Desired complex roots가 dominate할 수 있도록 기존 poles보다 zero가 왼쪽에 위치해야 함)
• Phase-Lag Compensator : Magnitude를 하강시켜 $\omega_c$를 감소시킴으로써 $P.M.$ 상승
  • Bode Plot
    : $K_v, \text{P.M.}$ $\Rarr$ Uncompensated Bode plot 그리고 desired $\text{P.M.}+5\degree$ 만족(phase-lag compensator에 의한 phase attenuation 대비)하는 $w_c'$ 찾아 해당 $w_c'$에서 필요한 magnitude attenuation 값 계산 $\Rarr$ $20\log_{10}\alpha$로 $\alpha$ 계산 $\Rarr$ $\omega_z=\omega_c'/10, \omega_p=\omega_z/\alpha$ (desired $K_v$ 값으로 $K_{new}$ 계산)
  • Root Locus
    : $K_v, \zeta$ $\Rarr$ Uncompensated root locus 상에서 D.S. 만족하는 desired loot location 찾고 그 roots에서의 uncompensated $K$, $K_v$값 계산 $\Rarr$ $\alpha=K_{v, comp}/K_{v, unc}=|\frac{z}{p}|$ $\Rarr$ $\alpha$ 값으로 원점에 매우 가깝게 $z, p$ 설정 (마치 서로 상쇄되어 uncompensated에서의 root locus에 큰 변화를 주지 않아야 함)
• Analytical Methods
  : Crossover frequency $\omega_c$에서의 phase contribution $p$와 magnitude contribution $c$ 값에 대해, lead or lag network의 pole/zero 값에 해당하는 $\alpha, \tau$ 값을 연립방정식으로 해결