문제

크기가 N×N인 도시가 있다. 도시는 1×1크기의 칸으로 나누어져 있다. 도시의 각 칸은 빈 칸, 치킨집, 집 중 하나이다. 도시의 칸은 (r, c)와 같은 형태로 나타내고, r행 c열 또는 위에서부터 r번째 칸, 왼쪽에서부터 c번째 칸을 의미한다. r과 c는 1부터 시작한다.

이 도시에 사는 사람들은 치킨을 매우 좋아한다. 따라서, 사람들은 "치킨 거리"라는 말을 주로 사용한다. 치킨 거리는 집과 가장 가까운 치킨집 사이의 거리이다. 즉, 치킨 거리는 집을 기준으로 정해지며, 각각의 집은 치킨 거리를 가지고 있다. 도시의 치킨 거리는 모든 집의 치킨 거리의 합이다.

임의의 두 칸 (r1, c1)과 (r2, c2) 사이의 거리는 |r1-r2| + |c1-c2|로 구한다.

예를 들어, 아래와 같은 지도를 갖는 도시를 살펴보자.

0 2 0 1 0
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 2

0은 빈 칸, 1은 집, 2는 치킨집이다.

(2, 1)에 있는 집과 (1, 2)에 있는 치킨집과의 거리는 |2-1| + |1-2| = 2, (5, 5)에 있는 치킨집과의 거리는 |2-5| + |1-5| = 7이다. 따라서, (2, 1)에 있는 집의 치킨 거리는 2이다.

(5, 4)에 있는 집과 (1, 2)에 있는 치킨집과의 거리는 |5-1| + |4-2| = 6, (5, 5)에 있는 치킨집과의 거리는 |5-5| + |4-5| = 1이다. 따라서, (5, 4)에 있는 집의 치킨 거리는 1이다.

이 도시에 있는 치킨집은 모두 같은 프랜차이즈이다. 프렌차이즈 본사에서는 수익을 증가시키기 위해 일부 치킨집을 폐업시키려고 한다. 오랜 연구 끝에 이 도시에서 가장 수익을 많이 낼 수 있는 치킨집의 개수는 최대 M개라는 사실을 알아내었다.

도시에 있는 치킨집 중에서 최대 M개를 고르고, 나머지 치킨집은 모두 폐업시켜야 한다. 어떻게 고르면, 도시의 치킨 거리가 가장 작게 될지 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N(2 ≤ N ≤ 50)과 M(1 ≤ M ≤ 13)이 주어진다.

둘째 줄부터 N개의 줄에는 도시의 정보가 주어진다.

도시의 정보는 0, 1, 2로 이루어져 있고, 0은 빈 칸, 1은 집, 2는 치킨집을 의미한다. 집의 개수는 2N개를 넘지 않으며, 적어도 1개는 존재한다. 치킨집의 개수는 M보다 크거나 같고, 13보다 작거나 같다.

출력

첫째 줄에 폐업시키지 않을 치킨집을 최대 M개를 골랐을 때, 도시의 치킨 거리의 최솟값을 출력한다.

예제 입력 1

5 3
0 0 1 0 0
0 0 2 0 1
0 1 2 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 2

예제 출력 1

5

예제 입력 2

5 2
0 2 0 1 0
1 0 1 0 0
0 0 0 0 0
2 0 0 1 1
2 2 0 1 2

예제 출력 2

10

예제 입력 3

5 1
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0
1 2 0 0 0

예제 출력 3

11

예제 입력 4

5 1
1 2 0 2 1
1 2 0 2 1
1 2 0 2 1
1 2 0 2 1
1 2 0 2 1

예제 출력 4

32

✅ 나의 코드

from sys import stdin as s

# s = open("input.txt", "rt")  # 주석 처리해야 하는 부분

n, m = list(map(int, s.readline().strip().split()))

city = []
for i in range(n):
    city.append(list(map(int, s.readline().strip().split())))

# city를 순회하며 집과 치킨집이 있는 인덱스 정보를 배열로 받아옴
chicken = []
house = []
for i in range(n):
    for j in range(n):
        if city[i][j] == 1:
            house.append((i, j))
        elif city[i][j] == 2:
            chicken.append((i, j))

# 도시 전체의 치킨 거리 합계를 구해주는 함수
def chicken_distance(chicken_candidates):
    total_distance = 0
    for (x, y) in house:
        min_distance = 1e9
        for (i, j) in chicken_candidates:
            distance = abs(i - x) + abs(j - y)
            min_distance = min(min_distance, distance)
        total_distance += min_distance

    return total_distance


result = 1e9

# 치킨집 배열에서 가능한 m개의 조합을 완전탐색할 것임.
visited = [0] * len(chicken)

def dfs(depth, start, chicken_candidates):
    # 치킨집 m개를 다 골랐나요?
    if depth == m:
        # 각 집의 최단 거리 치킨집들을 찾아 도시 전체의 최단거리 합계를 구해옴
        total_distance = chicken_distance(chicken_candidates)
        
        global result
        # 최단 거리 갱신
        result = min(result, total_distance)

        return

    # start부터 시작하여 가지치기
    for i in range(start, len(chicken)):
        if not visited[i]:
            visited[i] = 1
            chicken_candidates.append(chicken[i])
            # i + 1번째부터 탐색하여 이미 나온 조합은 다시 나오지 않도록 함
            dfs(depth + 1, i + 1, chicken_candidates)
            chicken_candidates.pop()
            visited[i] = 0

    return result


print(dfs(0, 0, []))

처음에 시간 초과가 났었는데 가지치기라는 기법을 이용해서 해결할 수 있었다.

백트래킹이란?
조건을 만족하지 않으면 이전 단계로 돌아가서 다른 가능성을 탐색.
백트래킹 기법 중 가지치기(pruning)를 사용하여 중복되는 계산을 피할 수 있다.
이 문제에서는 start 매개변수를 이용하여 이전에 탐색이 완료된 치킨집의 경우 다시 방문하지 않도록 범위를 좁혔다.

처음에 시간 초과 났던 코드는 아래와 같다.

💩 시간초과 났던 코드

.
.
(생략)

def dfs(depth, chicken_candidates):
    if depth == m:
        # 이미 앞에서 나온 조합이 또 나온다. 💩
        print(chicken_candidates) 
        total_distance = chicken_distance(chicken_candidates)
        global result
        result = min(result, total_distance)

        return

    for i in range(len(chicken)):
        if not visited[i]:
            visited[i] = 1
            chicken_candidates.append(chicken[i])
            dfs(depth + 1, chicken_candidates)
            chicken_candidates.pop()
            visited[i] = 0

    return result


print(dfs(0, []))

출력 결과

# 한 번 나왔는데
[(0, 1), (3, 0)]
[(0, 1), (4, 0)]
[(0, 1), (4, 1)]
[(0, 1), (4, 4)]
# 똑같은 조합이 또 나온다.
[(3, 0), (0, 1)]
[(3, 0), (4, 0)]
[(3, 0), (4, 1)]
[(3, 0), (4, 4)]
# 또 나와
[(4, 0), (0, 1)]
# 또 나와
[(4, 0), (3, 0)]
[(4, 0), (4, 1)]
[(4, 0), (4, 4)]
# 계속 나와
[(4, 1), (0, 1)]
# 이제 그만 찾을래 어차피 많아
[(4, 1), (3, 0)]
[(4, 1), (4, 0)]
[(4, 1), (4, 4)]
[(4, 4), (0, 1)]
[(4, 4), (3, 0)]
[(4, 4), (4, 0)]
[(4, 4), (4, 1)]

처음에 작성한 코드에서는 이미 선택한 치킨집 조합이 또 나오는데 이걸 어떻게 중복을 방지해야할지 몰랐다. 그래서 chatGPT에게 물어봤다.

답변 요약: 이럴 때는 백트래킹 기법 중 하나인 가지치기를 하세요.

dfs의 매개변수에 start를 새로 정의하고, 치킨집을 탐색하는 for문에서 시작 범위를 start로 설정하여 이미 탐색한 치킨집은 제외하고 탐색하는 것이다.

이렇게 시작 범위를 주면

[(0, 1), (3, 0)]
[(0, 1), (4, 0)]
[(0, 1), (4, 1)]
[(0, 1), (4, 4)]
# 여기까지 탐색하면 0번째 인덱스까지의 탐색 완료.
# 1번쨰 인덱스로 넘어갔을 때 재귀 호출 시 2번째 인덱스를 start로 두고 탐색하기 때문에
# 0번째 인덱스는 더 이상 탐색하지 않는다.
[(3, 0), (4, 0)]
[(3, 0), (4, 1)]
[(3, 0), (4, 4)]
[(4, 0), (4, 1)]
[(4, 0), (4, 4)]
[(4, 1), (4, 4)]

중복되는 조합을 제거할 수 있다.

백트래킹과 가지치기는 DFS 탐색을 할 때 가능성이 없는 경로는 빠르게 포기하고 돌아오기 때문에 탐색의 범위를 효율적으로 좁혀줄 수 있는 기법이라고 한다. 앞으로도 필요할 때마다 많이 사용해보면서 익혀야겠다.