[Math] Quiz

Linear Algebra

Problem.

다음 두 벡터의 코사인 유사도(Cosine Similarity) 를 계산하라.

Solution.

1. 코사인 유사도는 두 벡터 a와 b 사이의 각도를 기반으로 정의되며, 다음과 같다.
   $\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

여기서,

• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$는 내적(dot product)
• ${\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$는 각각 벡터의 크기(norm)

2. 벡터의 내적 계산

   $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) = 0$

3. 벡터의 크기(norm) 계산

   $\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad \|\mathbf{b}\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

4. 코사인 유사도 계산

   $\cos \theta = \frac{0}{1 \times 1} = 0$

5. 결론
   $\cos \theta = 0$ 이므로, 두 벡터는 직교(orthogonal)하다.
   즉, 90도(직각) 관계를 가진다.

Numerical Optimization

Problem.

다음 함수의 최소값을 구하고, 최소값을 갖는 𝑥 값을 찾아라.

Solution.

1. 최소값을 갖는 x찾기
   여기서, $(x - 3)^2$는 제곱항이므로, 항상 0 또는 양수이다.
   즉, $(x - 3)^2$의 최소값은 0이며, 이는 $x=3$에서 발생한다.

2. 최소 함수값 계산

   $f(3) = (3 - 3)^2 + 2 = 2$

3. 결론

• 따라서, 최소값을 갖는 $x$ 값은 $x=3$
• 최소 함수값은 $f(3)=2$