1. Karlin-Rubin

Def. (Monotone Likelihood Ratio)
A model $\{f_\theta : \theta \in \Theta \}$ is said to have a monotone likelihood ratio (MLR) in a statistic $T$ if, for any $\theta_1 < \theta_2$, $f_{\theta_2}(X) > f_{\theta_1}(X)$ is a monotone function of $T$.

Proposition 1.
Suppose that a model $\{ f_{\theta} : \theta \in \Theta \}$ has a MLR in a statistic $T$. Then, a power function $\beta_{\phi}(\theta)$ for the test $\phi_t(X) = \mathbb{I}(T(X) > t)$ is increasing in $\theta$ for any $t$.

Thm. (Karlin-Rubin)
Assume that $\{f_\theta : \theta \in \Theta \}$ has MLR in $T$. Consider one-sided hypothesis testing problem such as $H_0 : \theta \leq \theta_0 \quad \textup{versus} \quad H_1 : \theta > \theta_0$.
Then a test $\phi^*_t (X) = \mathbb{I}(T(X) > t_{\alpha})$ is a uniformly most powerful level $\alpha$ test, where $t_{\alpha}$ is chosen to be $\beta_{\phi^*}(\theta_0) = \alpha$.

UMP Test는 항상 존재하지 않지만, 어떤 모형이 Monotone Likelihood Ratio 성질을 가지고 있다면, Karlin-Rubin 정리에 의해서 단측 가설검정에 대해서는 UMP Test가 존재함을 알 수 있다. 대표적인 예시는 아래와 같은, 지수족에서의 가설검정이다.

Corollary 1.
모집단의 확률밀도함수가 아래와 같이 주어지는 Exponential Family라고 하자.

$f(x; \theta) = h(x) \exp \{ g(\theta)^{\top}T(x) - B(\theta) \}$

$g(\theta)$가 $\theta$의 단조증가함수이면, $\phi_t^*(X) = \mathbb{I}(T(X) > t_\alpha)$ 는 UMP Test이다.

Corollary 1. 보이는거는 $g(\theta)$가 단조증가라는 조건이 MLR과 바로 연결됨을 파악하면 끝난다.

2. Uniformly Most Powerful Unbiased Test

Def. (Unbiased Test)
A test $\phi_t(X)$ is a level $\alpha$ unbiased test if $\sup_{\theta \in \Theta_0} \beta_{\phi_t}(\theta) \leq \alpha$ and $\inf_{\theta \in \Theta_1} \beta_{\phi_t}(\theta) \geq \alpha$.

불편검정은 생소한 것 같다. 귀무가설 하에서 귀무가설을 기각하는 1종 오류를 범할 확률이 $\alpha$보다 작게 control할 것이라면, 검정력이 최소한 $\alpha$보다는 커야한다. 모호하게 들리지만, 결국 만약 검정력이 $\alpha$보다 작다면, $\alpha$의 확률로 랜덤하게 기각하는 랜덤 검정법보다도 좋지 못하다는 뜻이기 때문에 찍는 것보다 좋음을 설명하는 조건이다.

다음과 같은 예시를 고려해보자.

이 가설을 검정하는 LRT $\phi(X)$는 다음을 만족한다.

첫번째는 유의수준에 대한 수식이고,

두번째는 가장 좋은 검정력을 가지는 검정임을 의미한다.

이거 미분을 한게 어떤 의미냐면 미분을 해서 0되는 점이 $\theta_0$이니까, 이게 Local Minimum이 된다. 근데 Unbiased Test 정의에 의하면,