Observability (관측가능성)

Reference: Prof Steve Brunton, Control Bootcamp
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관측가능성(Observability)은 시스템의 외부 출력을 통해 시스템의 내부 상태를 완전히 파악할 수 있는 특성을 말함

시스템 정의

다음과 같이 제어입력이 존재하는 선형 시변 시스템을 고려하자:

상태방정식:
$\dot{x} = Ax + Bu$

출력방정식:
$y = Cx$

여기서 시스템의 차원은 다음과 같다:

• $x \in \mathbb{R}^n$ : 상태벡터 (n개의 내부 상태)
• $u \in \mathbb{R}^q$ : 제어입력벡터 (q개의 입력)
• $y \in \mathbb{R}^p$ : 출력벡터 (p개의 측정 가능한 출력)

시스템 행렬들:

• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ : 시스템 동역학 행렬
• $B \in \mathbb{R}^{n \times q}$ : 제어입력 행렬
• $C \in \mathbb{R}^{p \times n}$ : 출력 행렬

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Observability Matrix (관측가능성 행렬)

시스템의 관측가능성은 다음 Observability Matrix $\mathcal{O}$로 판단된다:

관측가능성 조건

시스템이 완전히 관측가능하다 ⟺ $\text{rank}(\mathcal{O}) = n$

즉, Observability Matrix가 full column rank를 가져야 함

물리적 의미

• 관측가능한 시스템: 출력 $y(t)$의 측정값만으로도 모든 초기상태 $x(0)$를 유일하게 결정할 수 있음
• 관측불가능한 시스템: 일부 상태변수들은 출력에 영향을 주지 않아 구별할 수 없음

직관적 해석

$CA^k$ 항들은 각 상태변수가 $k$번의 시간 단계를 거쳐 출력에 미치는 영향을 나타냄:

• $C$: 현재 시점에서 상태가 출력에 미치는 직접적 영향
• $CA$: 한 시간 단계 후의 영향
• $CA^2$: 두 시간 단계 후의 영향
• $\vdots$

모든 상태가 관측가능하려면, 이러한 영향들이 선형독립이어야 하며, 이것이 바로 full rank 조건임

제어가능성과의 관계

제어가능성(Controllability)과 관측가능성(Observability)은 쌍대(dual) 개념임:

• $(A,B)$가 제어가능 ⟺ $(A^T,C^T)$가 관측가능
• $(A,C)$가 관측가능 ⟺ $(A^T,B^T)$가 제어가능