이진 탐색 트리

Jeris·2023년 4월 18일
data structure
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코드잇 부트캠프 0기

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1. 이진 탐색 트리란

이진 탐색 트리(Binary search tree)

  • 다음과 같은 속성이 있는 이진 트리 자료 구조
    • 각 노드에 값이 있다.
    • 값들은 전순서가 있다.
      • 전순서(totally order): 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서
    • 노드의 왼쪽 서브트리에는 그 노드의 값보다 작은 값들을 지닌 노드들로 이루어져 있다.
    • 노드의 오른쪽 서브트리에는 그 노드의 값보다 큰 값들을 지닌 노드들로 이루어져 있다.
    • 좌우 하위 트리는 각각이 다시 이진 탐색 트리여야 한다.
  • 딕셔너리, 세트 등을 구현하는 데 쓸 수 있다.

2. 이진 탐색 트리 노드 구현

  • 완전 이진 트리가 아닐 수 있기 때문ㄴ에 노드 클래스를 정의한 후 여러 노드 인스턴트들을 생성하고 이 인스턴스들을 연결해서 구현한다.
  • 더블리 링크드 리스트로 구현한 트리 노드에서 parent reference를 담을 변수만 추가하면 된다.

3. 이진 탐색 트리 출력

  • 이진 탐색 트리를 in-order 순회하면 정렬된 순서대로 노드에 접근할 수 있다.
  • Worst-case time complexity: O(h)
  • Best-case time complexity: O(1)
  • Average time complexity: O(log(h))
  • Worst-case space complexity: O(n)
class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.parent = None
        self.left_child = None
        self.right_child = None


def print_inorder(node):
    """주어진 노드를 in-order로 출력해주는 함수"""
    if node is not None:
        print_inorder(node.left_child)
        print(node.data)
        print_inorder(node.right_child)


class BinarySearchTree:
    """이진 탐색 트리 클래스"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def print_sorted_tree(self):
        """이진 탐색 트리 내의 데이터를 정렬된 순서로 출력해주는 메소드"""
        print_inorder(self.root)  # root 노드를 in-order로 출력한다

4. 이진 탐색 트리 삽입

  1. 새로운 노드를 생성한다. (O(1))
  2. root 노드부터 data를 비교하면서 저장할 위치를 찾는다. (h: 트리의 높이, O(h))
  3. 찾은 위치에 새롭게 만든 노드를 연결한다. (O(1))
  • Worst-case time complexity: O(h)
  • Best-case time complexity: O(1)
  • Average time complexity: O(log(h))
  • Worst-case space complexity: O(n)
def insert(self, data):
        """이진 탐색 트리 삽입 메소드"""
    new_node = Node(data)

    if self.root is None:
        self.root = new_node
        return

    temp = self.root
    while temp is not None:
        if data > temp.data:
            if temp.right_child is None:
                new_node.parent = temp
                temp.right_child = new_node
                return
            else:
                temp = temp.right_child
        else:
            if temp.left_child is None:
                new_node.parent = temp
                temp.left_child = new_node
                return
            else:
                temp = temp.left_child

5. 이진 탐색 트리 탐색

  1. 주어진 노드의 데이터와 탐색하려는 데이터를 비교한다.
  2. 탐색하려는 데이터가 더 크면 노드의 오른쪽 자식 노드로 가서 탐색하고, 아니라면 왼쪽 자식 노드로 가서 탐색한다.
  3. 탐색을 완료되지 않았다면 1단계로 이동한다.
  • Worst-case time complexity: O(h)
  • Best-case time complexity: O(1)
  • Average time complexity: O(log(h))
  • Worst-case space complexity: O(n)
def search(self, data):
    """이진 탐색 트리 탐색 메소드, 찾는 데이터를 갖는 노드가 없으면 None을 리턴한다"""
    temp = self.root

    while temp is not None:
        if data == temp.data:
            return temp
        elif data < temp.data:
            temp = temp.left_child
        else:
            temp = temp.right_child

    return None

6. 이진 탐색 트리 삭제

  1. 삭제하려는 노드를 탐색한다. (O(h))
  • leaf 노드를 삭제하려 할 때
    1. leaf 노드의 부모 노드의 left_child 또는 right_child 레퍼런스를 삭제한다. 부모 노드가 없을 경우(root node) root node를 삭제한다. (O(1))
  • 하나의 자식 노드만 있는 노드를 삭제하려 할 때
    1. 자식 노드가 삭제하려는 노드의 자리를 차지하도록 레퍼런스를 조정한다.(O(1))
  • 두 개의 자식이 있는 노드를 삭제하려 할 때
    1. 삭제하려는 노드의 오른쪽 서브 트리에서 가장 작은 값을 가진 노드(Successor) 혹은 왼쪽 서브 트리에서 가장 큰 값을 가진 노드(Predecessor)를 탐색한다. (O(h))
    2. Successor 혹은 Predecessor와 삭제하려는 노드의 데이터를 서로 바꾼다. (O(1))
    3. 데이터가 바뀐 Successor 혹은 Predecessor의 부모의 left_child 또는 right_child 레퍼런스를 삭제한다. (O(1))
  • Worst-case time complexity: O(h)
  • Best-case time complexity: O(1)
  • Average time complexity: O(log(h))
  • Worst-case space complexity: O(n)
class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.parent = None
        self.left_child = None
        self.right_child = None


def print_inorder(node):
    """주어진 노드를 in-order로 출력해주는 함수"""
    if node is not None:
        print_inorder(node.left_child)
        print(node.data)
        print_inorder(node.right_child)


class BinarySearchTree:
    """이진 탐색 트리 클래스"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def delete(self, data):
        """이진 탐색 트리 삭제 메소드"""
        node_to_delete = self.search(data)
        parent_node = node_to_delete.parent

        # 경우 1: 지우려는 노드가 leaf 노드일 때
        if node_to_delete.left_child is None and node_to_delete.right_child is None:
            if self.root is node_to_delete:
                self.root = None
            else:  # 일반적인 경우
                if node_to_delete is parent_node.left_child:
                    parent_node.left_child = None
                else:
                    parent_node.right_child = None

        # 경우 2: 지우려는 노드가 자식이 하나인 노드일 때:
        elif node_to_delete.left_child is None:  # 지우려는 노드가 오른쪽 자식만 있을 때:
            # 지우려는 노드가 root 노드일 때
            if node_to_delete is self.root:
                self.root = node_to_delete.right_child
                self.root.parent = None
            # 지우려는 노드가 부모의 왼쪽 자식일 때
            elif node_to_delete is parent_node.left_child:
                parent_node.left_child = node_to_delete.right_child
                node_to_delete.right_child.parent = parent_node
            # 지우려는 노드가 부모의 오른쪽 자식일 때
            else:
                parent_node.right_child = node_to_delete.right_child
                node_to_delete.right_child.parent = parent_node

        elif node_to_delete.right_child is None:  # 지우려는 노드가 왼쪽 자식만 있을 때:
            # 지우려는 노드가 root 노드일 때
            if node_to_delete is self.root:
                self.root = node_to_delete.left_child
                self.root.parent = None
            # 지우려는 노드가 부모의 왼쪽 자식일 때
            elif node_to_delete is parent_node.left_child:
                parent_node.left_child = node_to_delete.left_child
                node_to_delete.left_child.parent = parent_node
            # 지우려는 노드가 부모의 오른쪽 자식일 때
            else:
                parent_node.right_child = node_to_delete.left_child
                node_to_delete.left_child.parent = parent_node

        # 경우 3: 지우려는 노드가 2개의 자식이 있을 때
        else:
            successor = self.find_min(node_to_delete.right_child)  # 삭제하려는 노드의 successor 노드 받아오기

            node_to_delete.data = successor.data  # 삭제하려는 노드의 데이터에 successor의 데이터 저장

            # successor 노드 트리에서 삭제
            if successor is successor.parent.left_child:  # successor 노드가 오른쪽 자식일 때
                successor.parent.left_child = successor.right_child
            else:  # successor 노드가 왼쪽 자식일 때
                successor.parent.right_child = successor.right_child

            if successor.right_child is not None:  # successor 노드가 오른쪽 자식이 있을 떄
                successor.right_child.parent = successor.parent

    @staticmethod
    def find_min(node):
        """(부분)이진 탐색 트리의 가장 작은 노드 리턴"""
        temp = node

        while temp.left_child is not None:
            temp = temp.left_child

        return temp

    def search(self, data):
        """이진 탐색 트리 탐색 메소드, 찾는 데이터를 갖는 노드가 없으면 None을 리턴한다"""
        if self.root is None:
            return None

        temp = self.root

        while temp is not None:
            if data == temp.data:
                return temp
            elif data < temp.data:
                temp = temp.left_child
            else:
                temp = temp.right_child

        return None

    def insert(self, data):
        """이진 탐색 트리에 데이터를 삽입해주는 메소드"""
        new_node = Node(data)

        if self.root is None:
            self.root = new_node
            return

        temp = self.root
        while temp is not None:
            if data > temp.data:
                if temp.right_child is None:
                    new_node.parent = temp
                    temp.right_child = new_node
                    return
                else:
                    temp = temp.right_child
            else:
                if temp.left_child is None:
                    new_node.parent = temp
                    temp.left_child = new_node
                    return
                else:
                    temp = temp.left_child

    def print_sorted_tree(self):
        """이진 탐색 트리 내의 데이터를 정렬된 순서로 출력해주는 메소드"""
        print_inorder(self.root)
        
# 빈 이진 탐색 트리 생성
bst = BinarySearchTree()

# 데이터 삽입
bst.insert(7)
bst.insert(11)
bst.insert(9)
bst.insert(17)
bst.insert(8)
bst.insert(5)
bst.insert(19)
bst.insert(3)
bst.insert(2)
bst.insert(4)
bst.insert(14)

# 자식이 두 개 다 있는 노드 삭제
bst.delete(7)
bst.delete(11)

bst.print_sorted_tree()
2
3
4
5
8
9
14
17
19

7. 이진 탐색 트리 높이 h 분석

  • 이진 탐색 트리의 높이:
    • Worst-case space complexity: O(n)
    • Best-case space complexity: O(log(n))
    • Average space complexity: O(log(n))

시간 복잡도 정리

  • 이진 탐색 트리 삽입, 탐색, 삭제
    • Worst-case time complexity: O(n)
    • Best-case time complexity: O(1)
    • Average time complexity: O(log(n))
    • Worst-case space complexity: O(n)

8. 이진 탐색 트리로 딕셔너리 구현하기

  • data에 key-value 값을 넣도록 정의하면 이진 탐색 트리로 딕셔너리를 구현할 수 있다.

이진 탐색 트리 딕셔너리 시간복잡도

  • key-value 쌍 삽입
    • Worst-case time complexity: O(n)
    • Best-case time complexity: O(1)
    • Average time complexity: O(log(n))
  • key를 이용한 노드 또는 value 탐색
    • Worst-case time complexity: O(n)
    • Best-case time complexity: O(1)
    • Average time complexity: O(log(n))
  • key-value 데이터 쌍 삭제
    • Worst-case time complexity: O(n)
    • Best-case time complexity: O(1)
    • Average time complexity: O(log(n))

해시 테이블과 비교

  • 세트나 딕셔너리의 삽입, 탐색, 삭제 모두 이진 탐색트리보다 해시 테이블을 사용하는 게 더 효율적이다.
  • 하지만 세트의 데이터나 딕셔너리의 key를 정렬된 상태로 사용하고 싶을 때는 이진 탐색 트리를 활용할 수 있다.

Feedback

  1. 이진 탐색 트리 연산의 시간, 공간 복잡도를 분석해보자.
  2. 언어별로 이진 탐색 트리를 구현해보자.
  3. 이진 탐색 트리로 추상 자료형을 구현해보자.

참고 자료

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