개요

백준 17626 : Four Squares

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

접근 방식

1. 이런 문제는 이전 값에다 더하면서 풀어나가는 바텀 업 방식이 나을 거 같았다.

2. 5만 보다 작은 제곱수 중 제일 큰 값이 223*223이다.

3. 제곱수 담을 배열 square을 생성해줬다.

   int square[223];

4. 몇 개의 제곱수의 합으로 표현될 수 있는지 담을 배열 dp를 생성했다.

   int dp[50001];

   ex ) dp[25] = 1 ( 5 ^2 )

5. 시작할 때 모든 dp배열에 해당 값을 넣어줬다. (최악의 경우로 1^2으로만 이뤄졌을 경우)
   그 후 제곱수에 해당하는 dp는 1을 넣어준다.

   for (int i = 1; i < 50001; i++) {
        dp[i] = i;
    }
    for (int i = 1; i < 224; i++) {
        square[i] = i * i;
        dp[i * i] = 1;
    }

6. 그 후, 제곱수들을 기존 dp 값에 더해주며 갱신해 나간다.
   1^2은 이미 다 더해진 상태이므로 2^2부터 다 더해주며 dp배열을 갱신해나간다.

   dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;
    dp[4] = 1;
    dp[5] = 2;
    dp[6] = 3;
    for (int i = 2; i < 224; i++) {
        for (int j = 1; j < 50001; j++) {
            if (j + square[i] < 50001)
                dp[j+square[i]] = min(dp[j + square[i]], dp[j] + 1);
        }
    }

전체 코드

#include<iostream>
using namespace  std;
int dp[50001];
// 223 * 223 = squared num right under 50000
int square[223];
int N;



int main() {
   for (int i = 1; i < 50001; i++) {
       dp[i] = i;
   }
   for (int i = 1; i < 224; i++) {
       square[i] = i * i;
       dp[i * i] = 1;
   }
   cin >> N;
   dp[1] = 1;
   dp[2] = 2;
   dp[3] = 3;
   dp[4] = 1;
   dp[5] = 2;
   dp[6] = 3;
   for (int i = 2; i < 224; i++) {
       for (int j = 1; j < 50001; j++) {
           if (j + square[i] < 50001)
               dp[j+square[i]] = min(dp[j + square[i]], dp[j] + 1);
       }
   }
   cout << dp[N];
}