[Gold II] 피보나치 수 6 - 11444

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성능 요약

메모리: 11572 KB, 시간: 68 ms

분류

분할 정복을 이용한 거듭제곱, 수학

제출 일자

2024년 11월 21일 00:05:59

문제 설명

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

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풀이

• $n<=10^{18}$ 이므로 Long 타입으로 받아 계산한다.

• 시간효율성을 위해 전에 했던 연산결과를 활용한다 - DP
  단, 배열을 $10^{18}$크기로 만들 수는 없으니 HashMap을 사용하여 필요한 n번째 값만 저장한다.

• $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$ 피보나치 수열을 나열하다 보면 규칙이 발견된다.
  $f(n) = 1f(n-1) + 1f(n-2) = f(2)f(n-1) + f(1)f(n-2)$
  $f(n) = 2f(n-2) + 1f(n-3) = f(3)f(n-2) + f(2)f(n-3)$
  $f(n) = 3f(n-3) + 2f(n-4) = f(4)f(n-3) + f(3)f(n-4)$
  $f(n) = 5f(n-4) + 3f(n-5) = f(5)f(n-4) + f(4)f(n-5)$
  ...
  $f(n) = f(k+1)f(n-k) + f(k)f(n-k-1) \quad(단,\; k>=0)$

• $i)\; n=2k$ 짝수일 때와 $ii)\; n=2k+1$ 홀수일 때로 나눠 생각해보자
  $i)\; n=2k$ 짝수일 때,
  $f(2k) = f(k+1)f(k)+f(k)f(k-1)$
  $\qquad\, \ \ = f(k)* { (f(k+1) + f(k-1)) }$
  $\qquad\, \ \ = f(k) * { (2f(k-1) + f(k)) }$
  $ii)\; n=2k+1$ 홀수일 때,
  $f(2k+1) = f(k+1)f(k+1) + f(k)f(k)$
  $\qquad\qquad\ \, = f(k)^2 + f(k+1)^2$

• 위와 같이 n을 2로 나누면서 분할 정복하면 큰 수도 빠르게 계산이 가능하다
  $2^{60} \simeq 10^{18}$

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코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.HashMap;

public class Main {

	// 0 1 2 3 4 5 6 ... ==> index
	// 0 1 1 2 3 5 8 ... ==> n번째 피보나치 수
	
	static HashMap<Long, Long> dp;

	public static void main(String[] args) throws Exception {
		BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));

		long n = Long.parseLong(br.readLine());
		dp = new HashMap<>();

		System.out.println(fibo(n));
	}

	static long fibo(long n) {

		if (n <= 0)
			return 0;

		if (n == 1 || n == 2)
			return 1;

        // 이전에 구했으면 바로 리턴(같은 연산 안하도록)
		Long result = dp.get(n);
		if (result != null)
			return result;

		if (n % 2 == 1) { // n = 2k+1 (홀수)
			long k = (n - 1) / 2;

			long a = fibo(k);
			long b = fibo(k + 1);
			result = (a * a + b * b); // f(2k+1) = f(k)^2 + f(k+1)^2

			dp.put(n, result % 1000000007);
		} else { // n = 2k (짝수)
			long k = n / 2;

			long a = fibo(k - 1);
			long b = fibo(k);
			result = b * (a * 2 + b); // f(2k) = f(k) * { 2f(k-1) + f(k) }

			dp.put(n, result % 1000000007);
		}

		return dp.get(n);
	}

}