그리디 알고리즘 : 매 순간 가장 좋아 보이는 것을 선택한다.

거스름돈 문제

문제 : 당신은 음식점의 계산을 도와주는 점원이다. 카운터에는 거스름돈으로 사용할 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 무한히 존재한다고 가정한다. 손님에게 거슬러 줘야 할 동전의 최소 개수를 구하라. 단, 거슬러 줘야 할 돈 N은 항상 10의 배수이다.

문제 해설 : '가장 큰 화폐 단위부터' 거슬러 준다. (그리디 알고리즘)

소스 코드

n = 1260
count = 0

coin_types = [500, 100, 50, 10] # 큰 단위의 화폐부터 차례대로 확인.

for coin in coin_types:
	count += n // coin
    n %= coin
    
print(count)

..참고 : 화폐의 종류가 K라고 할 때, 위 소스코드의 시간 복잡도는 O(K)이다. 시간 복잡도에서 거슬러 주어야 할 돈 N은 찾아볼 수 없다. 이 알고리즘의 시간 복잡도는 동전의 총 종류에만 영향을 받고, 거슬러 줘야하는 금액의 크기와는 무관하다.

그리디 알고리즘의 정당성
대부분의 문제는 그리디 알고리즘으로 '최적의 해'를 찾을 수 없다. 따라서 그리디 알고리즘으로 문제의 해법을 찾았을 때는 그 해법이 정당한지 검토해야 한다. 거스름돈 문제를 그리디 알고리즘으로 해결할 수 있는 이유는 가지고 있는 동전 중에서 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로 작은 단위의 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문이다.
대부분의 그리디 알고리즘 문제에서는 이처럼 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 이것이 정당한지 검토할 수 있어야 답을 도출할 수 있다.

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<실전문제1>
큰수의 법칙
동빈이의 큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 방법이다. 단, 배열의 특정한 인덱스에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수 없는 것이 이 법칙의 특징이다.

예를 들어 순서대로 2, 4, 5, 4, 6으로 이루어진 배열이 있을 때, M이 8이고 K가 3이라고 가정하자.

이 경우 특정한 인덱스의 수가 연속해서 세 번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는 6 + 6 + 6 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5인 46이 된다. 단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다.

예를 들어 순서대로 3, 4, 3, 4, 3으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고 K가 2라고 가정하자. 이 경우 두 번째 원소에 해당하는 4와 네 번째 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번씩 더하는 것이 가능하다.

결과적으로 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 인 28이 도출된다.
배열의 크기 N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 동빈이의 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오.

입력 조건

• 첫째 줄에 N(2 <= N <= 1000), M(1 <= M <= 10000), K(1 <= K <= 10000)의 자연수가 주어지며 각자 연수는 공백으로 구분한다.
• 둘째 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다.
  단, 각각의 자연수는 1 이상 10000 이하의 수로 주어진다.
• 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.

출력 조건

• 첫째 줄에 동빈이의 큰 수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.

문제 해설
이 문제는 '현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법'으로 해결할 수 있으므로 그리디 알고리즘에 해당한다.

N, M, K = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))

a.sort()
firstBig = a[N-1]
secondBig = a[N-2]
sum = 0

while True:
    for _ in range(K):
        if M == 0:
            break
        sum += firstBig
        M -= 1
    if M == 0: break
    else:
        sum += secondBig
        M -= 1

print(sum)

위 소스코드의 시간 복잡도는 O(M)이다.
여기서 M의 크기가 10억 이상이면 시간초과가 날 가능성이 있다.
수학적 아이디어를 활용해서 시간복잡도를 줄일 수 있다.

N, M, K = map(int, input().split())
a = list(map(int, input().split()))

a.sort()
firstBig = a[N-1]
secondBig = a[N-2]

count = int(M / (K+1)) * K
count += M % (K + 1)

result = 0
result += (count) * firstBig
result += (M-count) * secondBig

print(result)

위 소스코드는 수학적 아이디어를 이용하여 시간복잡도를 O(1)로 줄인 것이다.
이와 같이 수학적 아이디어를 적용하면 시간복잡도를 줄일 수 있다.