01. 그리디 알고리즘(탐욕법)

그리디 알고리즘이란?

그리디 알고리즘(탐욕법)은 단순하지만 강력한 문제 해결 방법으로 현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법을 의미한다.

일반적인 그리디 알고리즘은 문제를 풀기 위한 최소한의 아이디어를 떠올릴 수 있는 능력을 요구한다.

예시

루트 노드부터 시작하여 거쳐 가는 노드값의 합을 최대로 만들고 싶다.
최적의 해는 무엇일까?

애초에 노드 자체가 별로 없어서 5 -> 7 -> 9 로 가는 것이
노드 값의 합이 최대(21)인 경우임을 한 눈으로도 알 수 있다

단순히 매 상황에서(현재 위치에서) 가장 큰 값만 고른다면 어떻게 될까?
5 -> 10 -> 4
=> 합이 19라 21보다 작음

일반적인 상황에서 그리드 알고리즘은 최적의 해를 보장할 수 없을 때가 많다.
하지만 코딩 테스트에서의 대부분의 그리드 문제는 탐욕법으로 얻은 해가 최적의 해가 되는 상황에서, 이를 추론할 수 있어야 풀리도록 출제된다.

<문제1> 거스름돈

당신은 음식점의 계산을 도와주는 점원이다. 카운터에는 거스름돈으로 사용할 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 무한히 존재한다고 가정한다. 손님에게 거슬러 주어야 할 돈이 N원일 때 거슬러 주어야 할 동전의 최소 개수를 구하여라. 단, 거슬러 줘야 할 돈 N은 항상 10의 배수이다.

문제 해결 아이디어

최적의 해를 빠르게 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주면 된다. N원을 거슬러 줘야 할 때, 가장 먼저 500원으로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 준다. 이후 100원, 50원, 10원짜리 동전을 차례대로 거슬러 줄 수 있을 만큼 거슬러 주면 된다.

N = 1,260일 때의 예시

0. 초기 단계 - 남은 돈 : 1,260 원
   손님 - 아무것도 없는 상태

   -> 500원 2개를 거슬러 준다.

1. 남은 돈 : 260원
   손님 - 500원 x 2

   -> 100원 2개를 거슬러 준다.

2. 남은 돈 : 60원
   손님 - 500원 x 2 + 100원 x 2

   -> 50원 1개를 거슬러 준다.

3. 남은 돈 : 10원
   손님 - 500원 x 2 + 100원 x 2 + 50원 x 1

   -> 10원 1개를 거슬러 준다.

4. 남은 돈 : 0원
   손님 - 500원 x 2 + 100원 x 2 + 50원 x 1 + 10원 x 1

정당성 분석

가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주는 것이 최적의 해를 보장하는 이유는 무엇일까? => 가지고 있는 동전 중 큰 단위가 항상 작은 단위의 배수이므로 작은 단위의 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문이다.

만일 800원을 거슬러 주어야 하는데 화폐 단위가 500원, 400원, 100원이라면 어떻게 될까? -> 우리의 알고리즘에 따르면 500원 x 1, 100원 x 3 을 거슬러주게 되어서 총 4개라는 답이 도출된다. -> 그러나 사실 최적의 해는 400원 x 2 인 2개이다.

=> 큰 단위가 작은 단위의 배수가 아니라면 이와 같은 알고리즘을 이용해 최적의 해를 보장할 수 없다. (500원짜리가 400원짜리의 배수가 아니라 문제 발생)

그리디 알고리즘 문제에서는 이처럼 문제 풀이를 위한 최소한의 아이디어를 떠올리고 이것이 정당한지 검토할 수 있어야 한다.

파이썬 답안 예시

n = 1260
count = 0

#큰 단위의 화폐부터 차례대로 확인하기
array = [500, 100, 50, 10]

for coin in array:
    count += n // coin #해당 화폐로 거슬러 줄 수 있는 동전의 개수 세기
    n %= coin

print(count)

#참고
// : 나누기 연산 후 소수점 이하의 수를 버리고, 정수 부분의 수만 구함
% : 나누기 연산 후 몫이 아닌 나머지를 구함

시간 복잡도 분석

화폐의 종류가 k라고 할 때, 소스코드의 시간 복잡도는 O(K)이다.
이 알고리즘의 시간 복잡도는 거슬러줘야 하는 금액과는 무관하며, 동전의 한 종류에만 영향을 받는다. 반복문이 화폐의 종류만큼 반복이 되기 때문이다.

<문제2> 1이 될 때까지

어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 때만 선택할 수 있다.
1. N에서 1을 뺀다.
2. N을 K로 나눈다.

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 된다. 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수이다.

N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성해라.

입력 조건 : 첫째 줄에 N(1 <= N <= 100,000)과 K(2 <= K <= 100,000)가 공백을 기준으로 하여 각각 자연수로 주어진다.
출력 조건 : 첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.
입력 예시 : 25 5
출력 예시 : 2

문제 해결 아이디어

주어진 N에 대하여 최대한 많이 나누기를 수행하면 된다. N의 값을 줄일 때 2 이상의 수로 나누는 작업이 1을 빼는 작업보다 수를 훨씬 많이 줄일 수 있다.

정당성 분석

가능하면 최대한 많이 나누는 작업이 최적의 해를 항상 보장할 수 있을까?
N이 아무리 큰 수여도, K로 계속 나눈다면 기하급수적으로 빠르게 줄일 수 있다.
다시 말해 K가 2 이상이기만 하면, K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N을 줄일 수 있다. 또한 N은 항상 1에 도달하게 된다. (최적의 해 성립)

파이썬 코드

# 입력받은 수를 공백을 기준으로 분리하고 int형으로 바꿔 n, k에 넣기
n, k = map(int, input().split())

result = 0 #연산을 수행하는 횟수

while True:
    #n이 k로 나누어 떨어지는 수가 될 때까지 빼기
    #만일 n이 k로 나누어 떨어지지 않는 경우
    #가장 k로 나누어 떨어지는 가까운 수를 찾고자 할 때 사용
    target = (n // k) * k
    #1을 빼는 연산을 몇 번 계산할지
    result += (n - target)
    n = target
    #n이 k보다 작을 때 (더 이상 나눌 수 없을 때) 반복문 탈출
    if  n < k:
        break
    #k로 나누기
    result += 1
    n //= k

#마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result += (n - 1)
print(result)

<문제3> 곱하기 혹은 더하기

각 자리가 숫자(0-9)로만 이루어진 문자열 S가 주어졌을 때, 왼쪽부터 오른쪽으로 하나씩 모든 숫자를 확인하며 숫자 사이에 'x' 혹은 '+' 연산자를 넣어 결과적으로 만들어질 수 있는 가장 큰 수를 구하는 프로그램을 작성해라. 단, +보다 x를 먼저 계산하는 일반적인 방식과는 달ㄹ리, 모든 연산은 왼쪽에서부터 순서대로 이루어진다고 가정한다.

예를 들어 02984라는 문제열로 만들 수 있는 가장 큰 수는 ((((0+2) x 9) x 8) x 4) = 576 이다. 또한 만들어질 수 있는 가장 큰 수는 항상 20억 이하의 정수가 되도록 입력이 주어진다.

입력 조건 : 첫째 줄에 여러 개의 숫자로 구성된 하나의 문자열 s가 주어진다. (1<= s의 길이 <= 20)
출력 조건 : 첫째 줄에 만들어질 수 있는 가장 큰 수를 출력한다.
입력 예시 : 02984 - 출력 예시 : 576
입력 예시 : 567 - 출력 예시 : 210

문제 해결 아이디어

대부분의 경우 '+' 보다는 'x'가 더 값을 크게 만든다. 다만 두 수 중에서 하나라도 '0' 혹은 '1'인 경우, 곱하기보다는 더하기를 수행하는 것이 효율적이다. 따라서 두 수에 대하여 연산을 수행할 때, 두 수 중에서 하나라도 1 이하인 경우에는 더하며, 두 수가 모두 2 이상인 경우에는 곱하면 정답이다.

파이썬 코드

data = input()

#첫 번째 문자를 숫자로 변경하여 대입
result = int(data[0])

for i in range(1, len(data)):
    #두 수 중 하나라도 0 혹은 1인 경우, 곱하기보다는 더하기 수행
    num = int(data[i])
    if num <= 1 or result <= 1:
        result += num
    else:
        result *= num

print(result)

<문제4> 모험가 길드

한 마을에 모험가가 N명 있다. 모험가 길드에서는 N명의 모험가를 대상으로 '공포도'를 측정했는데, '공포도'가 높은 모험가는 쉽게 공포를 느껴 위험 상황에서 제대로 대처할 능력이 떨어진다. 모험가 길드장은 모험가 그룹을 안전하게 구성하고자 공포도가 X인 모험가는 반드시 X명 이상으로 구성한 모험가 그룹에 참여해야 여행을 떠날 수 있도록 규정했다. 길드장은 최대 몇 개의 모험가 그룹을 만들 수 있는지 궁금하다. N명의 모험가에 대한 정보가 주어졌을 때, 여행을 떠날 수 있는 그룹 수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성해라.

예를 들어 N = 5 이고, 각 모험가의 공포도가 다음과 같다고 가정하자.
2 3 1 2 2

이 경우 그룹 1에 공포도가 1, 2, 3인 모험가를 한 명씩 넣고, 그룹 2에 공포도가 2인 남은 두 명을 넣게 되면 총 2개의 그룹을 만들 수 있다. 또한, 몇 명의 모험가는 마을에 그대로 남아 있어도 되기 때문에 모든 모험가를 특정한 그룹에 넣을 필요는 없다.

입력 조건 : 첫째 줄에 모험가의 수 N이 주어진다. 둘째 줄에 각 모험가의 공포도의 값을 N 이하의 자연수로 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
출력 조건 : 여행을 떠날 수 있는 그룹 수의 최댓값을 출력한다.
입력 예시 :
5
2 3 1 2 2
출력 예시 : 2

문제 해결 아이디어

오름차순 정렬 이후에 공포도가 가장 낮은 모험가부터 하나씩 확인한다.
2 3 1 2 2 -> 1 2 2 2 3

앞에서부터 공포도를 하나씩 확인하며 '현재 그룹에 포함된 모험가의 수'가 '현재 확인하고 있는 공포도'보다 크거나 같다면 이를 그룹으로 설정하면 된다.

이러한 방법을 이용하면 공포도가 오름차순으로 정렬되어 있다는 점에서, 항상 최소한의 모험가의 수만 포함하여 그룹을 결성하게 된다.

파이썬

n = int(input())
data = list(map(int, input().split()))
data.sort()

result = 0 #총 그룹 수
count = 0 #현재 그룹에 포함된 모험가의 수

for i in data: #공포도를 낮은 것부터 하나씩 확인하며
    count += 1 #현재 그룹에 해당 모험가를 포함시키기
    if count >= i: #현재 그룹에 포함된 모험가의 수가 현재의 공포도 이상이라면, 그룹 결성
        result += 1 #총 그룹의 수 증가시키기
        count = 0 #현재 그룹에 포함된 모험가의 수 초기화

print(result) #총 그룹의 수 출력

<문제5> 큰 수의 법칙

문제 - 책 참고

#n, m, k를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())
#N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() #입력받은 수들 정렬하기
first = data[n-1] #가장 큰 수
second = data[n-2] #두번째로 큰 수

result = 0

while True:
   for i in range(k): #가장 큰 수를 k번 더하기
       if m == 0: #m이 0이라면 반복문 탈출
           break
       result += first
       m -= 1 #더할 때마다 1씩 빼기
   if m == 0: #m이 0이라면 반복문 탈출
       break
   result += second #두번째로 큰 수를 한 번 더하기
   m -= 1 #더할 때마다 1씩 빼기

print(result)

<문제6> 숫자 카드 게임

문제 - 책 참고

n, m = map(int, input.split())

result = 0
for i in range(n):
    data = list(map(int, input.split()))
    #현재 줄에서 가장 작은 수 찾기
    min_value = 10001
    for a in data:
        min_value = min(min_value, a)
    #가장 작은 수들 중에서 가장 큰 수 찾기
    result = max(result, min_value)

print(result)

앞으로 보완해야할 점

1. 제대로 구현하지 못했더라도 내가 해본 코드도 저장해서 같이 올리기
2. 책/영상을 따라치는데 급급해하지 말기. 캡처본/아주 간략히 요약하기.
3. 간단한 문법이더라도 헷갈리는 부분이면 주석 더 자세히 달기.
4. 벨로그 사용법 더 공부해보기

-이것이 코딩 테스트다 with 파이썬(나동빈) 책과 이코테 유튜브 강의 영상을 기반으로 작성한 글입니다.-