[CH5-2] Angles

조현진·2023년 3월 20일
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공업수학

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Cauchy-Schwarz Inequality

<x,y>xy|\mathbf{<x,y>}|\le\lVert\mathbf{x}\rVert\lVert\mathbf{y}\rVert

since x,y0,(Definition of Norm)\lVert\mathbf{x}\rVert,\lVert\mathbf{y}\rVert\ge0,(\because Definition\ of \ Norm)
<x,y>xy1\frac{\mathbf{|<x,y>|}}{\mathbf{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}}\le1
1<x,y>xy1\therefore -1\le\frac{\mathbf{<x,y>}}{\mathbf{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}}\le1

이 식에서 angle의 논의가 시작 된다.

안의 식을 cosωcos\omega라고 정의한다.
ω\omega의 범위는 unique 솔루션을 얻기 윟아ㅕ π\pi까지로 줄인다. (ω[0,π])\omega\in[0,\pi])

그리고 앞으로 angle이라고 하면 아래와 같이 정의된다.

  • ω\omega는 벡터 x와 y사이의 각도

Orthogonality

Definition

  • Two vectors are orthogonal iff <x,y>=0<\mathbf{x,y}>=0

  • 0 vector는 벡터 스페이스 상의 모든 벡터에 대하여 orthogonal하다.

  • xy\mathbf{x\bot y}

Orthonomal

  • Orthogonal & Unit Vector 일 경우 성립한다.

Orthogonality with Various Inner Products

  • orthogonality는 inner prouct의 타입에 의존한다.

  • example

<x,y>=0\mathbf{<x,y>=0}

x=[1,1]T\mathbf{x=[1,1]^T}
y=[1,1]T\mathbf{y=[-1,1]^T}
<x,y>=xTyxy=0   Orthogonal\mathbf{<x,y>=x^Ty\rightarrow x\cdot y=0}\ \ \therefore \ Orthogonal

What if... A(General Inner Product)에 변화를 준다면
A=[2001]A=\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}

<x,y>=xT[2001]y[11][2001][11]=[21][11]=10Non Orthogonal\mathbf{<x,y>=x^T\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}y\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=-1\neq0} \therefore Non\ Orthogonal

Orthogonal Matrix

Definition

  • Square matrix이며,
  • AAT=I=ATA\mathbf{AA^T=I=A^TA}

Implication 함축/암시

  • AT=A1\mathbf{A^T=A^{-1}}

Point

  • orthonormal column vector로 구성된 matrix이다.

Transformation by Orthogonal Matrix

  • Orthogonal matrix의 변환은 length와 벡터 간의 angle을 그대로 유지한다는 특성이 있다.

-length(길이가 유지된다.)
Ax2=(Ax)T(Ax)=xTATAx=XTX=x2\lVert\mathbf{Ax}\rVert^2=\mathbf{(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=X^TX=\lVert x\rVert}^2

-angle(각도가 유지된다.)
cosωcos\omega=(Ax)T(Ax)AxAy\frac{\mathbf{(Ax)^T(Ax)}}{\mathbf{\lVert Ax\rVert\lVert Ay\rVert}}=xTyxy\frac{\mathbf{x^Ty}}{\mathbf{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}}

Orthonomal Basis

Definition

basis B에 관하여, 아래 조건을 만족하는 basis를 의미한다.
<bi,bj>=0 (for ij)\mathbf{<b_i,b_j>=0 \ (for \ i \neq j)}
<bi,bi>=1(i로같음)\mathbf{<b_i,b_i>=1(i로 같음)}

Orthogonal Basis

<bi,bj>=0 (for ij)\mathbf{<b_i,b_j>=0 \ (for \ i \neq j)}을 만족하는 basis를 의미한다.

Orthogonal Complement

향후 필요하면 공부하여 설명을 적어보려고 한다.

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