[선형대수학] 벡터의 4공간

Essence of Linear algebra! 완전히 이해하기.

Column Space

열벡터로 span할 수 있는 벡터 공간, C(A)

Row Space

행벡터로 span할 수 있는 벡터 공간, C(At)

Null Space

행렬 A에 대하여 Ax = 0을 만족하는 x에 의해 표현되는 공간, N(A)

• 영벡터에 도달하는 vector space
  --> 가능한 방정식의 모든 해가 된다.
• 영공간이 존재하면 특정 열은 다른 열의 선형 조합으로 표현 가능하다 (= 선형종속이 존재한다.)

Left-null Space

XtA = 0
왼쪽에 곱해져서 left-null space라고 한다.
행/열을 바꿔서 생각해준다

좌-영공간이 존재하면 특정 행은 다른 행의 선형 조합으로 표현 가능하다.

Rank(계수)

행렬의 계수는 열공간 혹은 행공간의 차원이다
Rank(A) = dim C(A) = dim C(At)

열공간은 행렬의 열들의 생성이다. 쉽게 말해서, 화살표의 생성이라고 생각하면 된다. 즉, 가능한 모든 출력의 집합이다.
그리고 이 생성된 화살표를 통해 span할 수 있는 범위인 column space의 차원이 바로 rank가 된다.

• 또한, column space와 row space의 차원은 항상 같다.

Full Column rank

col space만큼 차원을 갖는 것을 의미한다.
dim N(A)=0으로, 열벡터들이 모두 선형독립이다.

Full Row Rank

row space만큼 차원을 갖는 것을 의미한다.
dim N(At)=0, 행벡터들이 모두 선형독립이다.

벡터의 4공간

n*m 행렬 A에 대해서...

• 열공간 = r
• 행공간 = r
• 영공간 = m-r(열의 개수 - 열공간 차원)
• 좌영공간 = n-r(행의 개수 - 행(열)공간 차원)

dim(N(A)) + dim(R(A)) = m
null space는 row space와 수직한 space다.
둘이 나눠갖는다.

정방행렬에서 rank(A) = n = m

역행렬이 존재하고, 행렬식이 0이 아니다.

References

https://www.youtube.com/watch?v=bvB5uQXX7WY
YouTube'혁펜하임'-선형대수학 강의