벡터의 기하학적 의미
- N 차원 벡터 a 는 N 차원의 공간에서 :
- 벡터 a 의 값으로 표시되는 점
- 원점과 벡터 a 의 값으로 표시되는 점을 연결한 화살표
로 생각할 수 있다.
- 벡터가 N 차원이라는 것은 어떤 공간 내에서 벡터가 진행할 수 있는 방향이 N 개라는 것이다.
- a 는 2차원 공간에서 점 (a1, a2) 그 자체 또는 원점에서 그 점을 가리키는 화살표로 생각할 수 있다.
- 벡터를 화살표로 생각하는 경우에는 길이와 방향을 고정시킨 채 평행이동할 수 있다.
=> 이렇게 평행이동 한 벡터는 동이한 벡터다.
벡터의 길이
- 벡터 a 의 길이는 norm 으로 정의한다.
- 다음은 numpy linalg 패키지로 벡터 길이를 계산하는 코드다
a = np.array([1, 2])
np.linalg.norm(a)스칼라와 벡터의 곱
- 양의 실수와 벡터를 곱하면 벡터의 방향은 변하지 않고, 실수의 크기만큼 길이가 변한다.
- 음의 실수를 곱하면 벡터의 방향이 반대가 된다.
단위벡터
- 벡터를 임의의 방향을 가리키는 길이 1인 벡터로 정규화 하는 것
- 영벡터가 아닌 임의의 벡터 x 에 대해 다음 벡터는 x 와 같은 방향을 가리티는 단위벡터다.
- 단위벡터의 장점 :
- 길이 고민 없이 방향만 신경쓰면 된다.
- 방향을 정해두고 길이를 바꾸고 싶을 때 해당 방향의 단위벡터에 스칼라 연산을 해준다.
벡터의 합
- 같은 차원의 벡터들에 대한 element wise sum 을 진행
- 벡터를 더하고자 아는 벡터의 끝점으로 평행이동했을 떄 이동학 벡터가 가리키는 점의 위치
벡터의 선형조합
- 여러 개의 벡터를 스칼라곱을 한 후 더한 것
- 미지수 벡터와 계수 벡터로 나눈 뒤 역행렬을 이용해보자.
벡터의 차
- a - b 는 b 가 가리키는 점으로부터 a 가 가리키는 점을 연결하는 벡터다.
=> b + (a - b) 는 b 가 되어야 하기 때문에.
Word2Vec
- 단어를 공간에서 점 또는 벡터로 표현하는 방법
=> 컴퓨터는 단어를 이해할 수 없기 때문에 - 도쿄 + (한국 - 서울) 이라는 벡터를 살펴보자.
=> 한국 - 서울 은 서울에서 한국으로 가는 벡터 즉, 수도->나라 벡터인 것이다.
=> 이를 도쿄에 더하면, 도쿄의 나라 즉 일본을 얻을 수 있다. - 마찬가지로, 남자배우 = 여자배우 + (남자 - 여자) 일 것이다.
유클리드 거리
- 두 벡터가 가리키는 점 사이의 거리 => 벡터의 차의 길이로 구할 수 있다
벡터의 내적과 삼각함수
- 방향과 크기가 같으면 같은 벡터다. 그러면 닮은 벡터는 무엇일까?
- 두 벡터 사이의 각도가 작아질수록 둘이 유사한 것이다.
- 두 벡터의 내적은 다음과 같이 구할 수 있다.
- 내적값이 커지면 cos 값이 커진다. cos 값이 커지면 두 벡터 사이의 각도가 작아진다.
직교
- 두 벡터가 이루는 각이 90도 => cos 값이 0이다
- 즉, 두 벡터의 내적이 0이면 직교하는 것이다.
- N개의 단위벡터가 서로 직교하면 정규직교 (orthonormal) 이라고 한다.
코사인 유사도
- 두 벡터의 방향이 비슷할수록 유사하다고 간주하여 두 벡터 사이 각의 cos 를 코사인 유사도라고 한다.
벡터의 분해와 성분
- 어떤 두 벡터 a, b 의 합이 다른 벡터 c가 될 때, c 가 두 벡터 성분 a, b 로 분해된다.
투영성분과 직교성분
- 벡터에 평행한 성분을 투영성분, 직교하는 성분을 직교성분이라고 한다.
- 벡터 a 를 다른 벡터 b 의 투영성분과 직교성분으로 분해할 수 있다.
- 투영성분의 길이는 다음과 같다
- 직교성분 벡터는 투영성분을 뺀 나머지다
직선의 방정식
- 어떤 벡터 w 가 있을 때, 아래를 만족하는 직선의 방정식을 구해보자
- 원점에서 출발한 벡터 w 가 가리키는 점을 지난다
- w 에 수직이다
- 이 직선 상의 임의의 점을 가리키는 벡터를 x 라고 하자.
- x - w 는 w 와 직교한다
- 이를 정리해보자
직선과 점 사이의 거리
- 어떤 직선과, 그 직선 위에 있지 않은 점 사이의 거리를 구해보자
- 직선과 점 x' 사이의 거리는 투영성분에서 ||w|| 를 뺀 것이다
- 여기에 직선의 방정식을 적용하면 다음과 같은 식이 나온다
인하대학교 컴퓨터공학과