기술 통계

Kyojun Jin·2024년 4월 3일

Data Science

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요약

이름	모수	통계량	계산식
크기	$N$	$n$	-
평균	$\mu$	$\bar x$	$\frac{\Sigma x}{n}$
분산	${\sigma}^2$	$V$ 혹은 $s^2$	$\frac{\Sigma(x-\bar x)^2}{n-1}$
표준편차	$\sigma$	$s$	$\sqrt{V}$
비율(확률)	$P$	$\hat p$	$\frac{x}{n}$

통계량: 표본의 몇몇 특징을 수치화한 것

위치 통계량

대표값. 자료의 중심점
평균, 중앙값, 최빈값 등

평균

무게중심을 나타내는 값.
계산이 쉬움. 각 자료에 하나의 값을 가진다.
이상치 있을 경우 신뢰 어려움. (극단적인 값에 민감)

중앙값

데이터를 순서대로 나열할 때 가운데에 있는 값.

최빈값

가장 많이 나타나는 값.
평균/중앙값과 달리 존재하지 않을 수도 있고 유일하지 않을 수도 있음.
질적 변수에서도 이걸 사용할 수 있음.
(질적 변수 = 수치 아니고 카테고리를 나타내는 변수)

분위수

데이터 표본을 4개로 나눔.
크기 순서대로 정렬해서, 총 개수가 전체의 25의 배수가 될 때마다 분위를 나눔.
예를 들어 최소값부터 시작해서 개수가 전체의 25%가 되는 수가 1분위수, 50이 2분위 수, 75가 3분위 수.
여기서 3분위 수에서 1분위 수를 뺀 것이 IQR이라고 하며 박스 플롯에서 박스가 이 IQR을 나타냄.

변이 통계량

자료의 퍼짐, 흩어짐 정도.
분산, 표준편차 등

분산

자료의 퍼짐 정도를 확인하는 통계량
각 변수와 평균과의 차를 평균 낸 것이다.
이때 절대값 효과를 주기 위해 제곱을 한다.
실제로 절대값을 쓰는 것을 평균절대편차라고 하고 옛날엔 분산 대신 썼다고도 한다.
절대값을 쓰면 나중에 미분이 어렵다는 게 절대값 안 쓰는 이유 중 하나라고 한다.

$V = \frac{\Sigma(x-\bar x)^2}{n-1}$

이때 평균과 달리 $n$ 으로 나누지 않고 $n-1$ 로 나누는데 이 $n-1$ 을 자유도라고 한다.

모수에서 바로 구할 때는 $n$ 으로 나눈다.

표준편차

분산의 제곱.

$\sqrt V$

변동계수

표준편차를 평균으로 나눈 값.
서로 다른 데이터 간의 편차를 비교하는 방법.

일반적인 값의 크기가 다른 두 데이터가 있는데, (예를 들어 키와 몸무게)
표준편차는 키가 더 크지만 실제로는 몸무게가 더 퍼져있을 가능성이 있다.
(보통 키는 백 중후반이므로 편차도 클 것이고, 몸무게는 편차들이 그것보단 작을 것)
이 경우 표준편차가 크다는 이유만으로 키 데이터가 넓게 퍼져있다고 판단할 수 없다.
표준편차를 각자의 평균으로 나눠서 스케일을 제거해서 공정하게 비교해야 한다.

변동계수 = 변이계수 = Coefficient of Variation = $\frac{s}{\bar x}$ 이다.