다익스트라 알고리즘

1. 개요

• 다익스트라(dijkstra) 알고리즘은 그래프에서 한 정점(노드)에서 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘 중 하나이다. 이 과정에서 도착 정점 뿐만 아니라 모든 다른 정점까지 최단 경로로 방문하며 각 정점까지의 최단 경로를 모두 찾게 된다. 매번 최단 경로의 정점을 선택해 탐색을 반복하는 것이다.

2. 동작 단계

① 출발 노드와 도착 노드를 설정한다.
② '최단 거리 테이블'을 초기화한다.
③ 현재 위치한 노드의 인접 노드 중 방문하지 않은 노드를 구별하고, 방문하지 않은 노드 중 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. 그 노드를 방문 처리한다.
④ 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 넘어가는 간선 비용(가중치)을 계산해 '최단 거리 테이블'을 업데이트한다.
⑤ ③~④의 과정을 반복한다.

• '최단 거리 테이블'은 1차원 배열로, N개 노드까지 오는 데 필요한 최단 거리를 기록한다. N개(1부터 시작하는 노드 번호와 일치시키려면 N + 1개) 크기의 배열을 선언하고 큰 값을 넣어 초기화시킨다.

• '노드 방문 여부 체크 배열'은 방문한 노드인지 아닌지 기록하기 위한 배열로, 크기는 '최단 거리 테이블'과 같다. 기본적으로는 False로 초기화하여 방문하지 않았음을 명시한다.

3. 특징

• 다익스트라 알고리즘은 방문하지 않은 노드 중 최단 거리인 노드를 선택하는 과정을 반복한다.

• 또한 각 단계마다 탐색 노드로 한 번 선택된 노드는 최단 거리를 갱신하고, 그 뒤에는 더 작은 값으로 다시 갱신되지 않는다.

• 도착 노드는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 길을 찾을 필요는 없다.

• 다익스트라 알고리즘은 가중치가 양수일 때만 사용 가능하다는 중요한 특징이 있다.

4. 구현 방법

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법에는 '방문하지 않은 노드'를 다루는 방식에서 '순차 탐색'을 할 것이나 '우선순위 큐'를 쓸 것이냐로 나뉜다.

1. 순차 탐색
   '방문하지 않은 노드 중 거리값이 가장 작은 노드'를 선택해 다음 탐색 노드로 삼는다. 그 노드를 찾는 방식이 순차 탐색이 된다. 즉 거리 테이블의 앞에서부터 찾아내야 하므로 노드의 개수만큼 순차 탐색을 수행해야 한다. 따라서 노드 개수가 N이라고 할 때 각 노드마다 최소 거리값을 갖는 노드를 선택해야 하는 순차 탐색이 수행되므로 (N−1)×N=O(N^2)의 시간이 걸린다.

2. 우선순위 큐
   1. 특징
      • 순차 탐색을 사용할 경우 노드 개수에 따라 탐색 시간이 매우 오래 걸릴 수 있다. 이를 개선하기 위해 우선순위 큐를 도입하기도 한다.
      • 우선순위 큐에서 사용할 '우선순위'의 기준은 '시작 노드로부터 가장 가까운 노드'가 된다. 따라서 큐의 정렬은 최단 거리인 노드를 기준으로 최단 거리를 가지는 노드를 앞에 배치한다.
      • 위의 순차 탐색을 쓰는 구현과는 다르게 우선순위 큐를 사용하면 방문 여부를 기록할 배열은 없어도 된다. 우선순위 큐가 알아서 최단 거리의 노드를 앞으로 정렬하므로 기존 최단 거리보다 크다면 무시하면 그만이다. 만약 기존 최단거리보다 더 작은 값을 가지는 노드가 있다면 그 노드와 거리를 우선순위 큐에 넣는다. 우선순위 큐에 삽입되는 형태는 <거리, 노드> 꼴이다.
   2. 시간 복잡도
      • 간선의 수를 E(Edge), 노드의 수를 V(Vertex)라고 했을 때 O(E×logV)가 된다.
      • 우선순위 큐에서 꺼낸 노드는 연결된 노드만 탐색하므로 최악의 경우라도 총 간선 수인 E만큼만 반복한다. 즉 하나의 간선에 대해서는 O(logE)이고, E는 V^2 보다 항상 작기 때문에 E개의 간선을 우선순위 큐에 넣었다 빼는 최악의 경우에 대해서는 O(E×logV)이다.