https://www.math3ma.com/blog/commutative-diagrams-explained 을 읽고 정리
- tl;dr
- 오브젝트와 화살표로 이루어진 모든 다이어그램에서 공통적인 시작점과 끝점을 공유하는 모든 경로는 같다고 할 수 있다면, 다이어그램이 "commute"하다.
- 두 함수의 합성이 무엇인지 안다면 commutative diagram에 대해서 아는것이다.
- f: A->B, g: B->C 가 있고 두 함수를 합성한 함수 h = g.f 가 있을 경우 아래 그림처럼 나타낼 수 있다.
- 이것은 함수를 나타내는 화살표의 도식화된 그림이기 때문에 diagram이다.
- 그리고 이것은 commute하다. 대각선 함수가 가로와 세로 함수의 합성과 동일하기 때문이다.
- i.e. A에 속한 모든 a에 대해 h(a) = g(f(a))
- 만약 공통적인 시작점과 끝점을 공유하는 모든 경로는 같다고 할 수 있다면, 다이어그램이 "commute"하다.
- 모든 diagram이 가환적(commutative)한것은 아니니 주의해야한다.
- 대각선에 있는 h가 f,g의 합성이 아니라면 가환적이지 않게 된다.
- 따라서 명시적으로 commutativity를 나타내기 위해 다음 기호를 사용하기도 한다.
- 위의 함수들 f, g, h 대신 f: A->B, z: A->C 만 알고 있다고 가정해보자.
- z = g.f를 만족시키는 g: B->C는 존재하는가?
- g가 존재한다. 다이어그램을 commute 하게 하는.
- g의 존재함(existence)를 나타내기 위해 점선으로 표시하기도 한다.
- 다이어그램은 z = g.f이고, 오직 그럴때만 commute하므로 g를 z의 factor로 생각할 수 있다.
