ch 3. vector spaces

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위 강의를 듣고 정리하는 글입니다.

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3.1 vector space

vector space을 정의하기 위해 필요한 네 가지: V(vector set), F(field, scalar set, 실수 집합), +, ·(scaler multiplication)

$u, v, w ∈ V$

$c, d ∈ F$ 일 때

1. $u + v ∈ V$와 $c·v∈ V$를 만족시켜야 함
2. 벡터 덧셈의 결합 법칙 성립($v+w = w+v$)
3. 벡터 덧셈의 교환 법칙 성립($(v+w)+u = v+(w+u)$)
4. 벡터 덧셈의 항등원 존재($0+v=v$을 만족하는 $0∈V$가 존재)
5. 역원 존재($(-v)+v=0$을 만족하는 $-v∈V$가 존재)
6. 스칼라 곱의 항등원 존재($1·v=v$을 만족하는 $1∈F$가 존재)
7. 분배법칙($c(v+w) = cv+cw$)
8. $c(dv)=(cd)v$
9. $(c+d)v=cv+dv$

위 조건을 모두 만족하면 V를 vector space라고 한다.

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subspace: $W⊂V$(W가 V의 subset)이고 $<W, F, +, ·>$가 vector space이면 W는 V의 subspace이다.

• subspace test

  1. $w_1, w_2 ∈ W$

  2. $w_1 + w_2 ∈ W$, $c·w_1∈ W$

     위 두 조건만 확인하면 됨($w_1, w_2$는 애초에 V의 원소이기 때문에 나머지 조건은 어차피 다 만족함)

$A$의 column space $C(A) = \{Ax|A∈M_{n×n}(ℝ), x∈ℝ^n\}$

$Ax=b$ is solvable ⇔ $b∈C(A)$

→ $A$의 column들의 linear combination으로 $b$를 만들 수 있어야 $Ax=b$를 풀 수 있겠지

예시)

$\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$가 $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$의 linear combination으로 표현 가능하면 solution 존재

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span

$span(S)$ = $\{c_1x_1 + … + c_nx_n|x_i∈S, c_i∈ℝ\}$($i=1, 2, …, n$)

span(S): 집합 S의 벡터들을 통해 만들 수 있는 linear combination들을 모아놓은 집합

예시)

$ℝ^2$ = $span(\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\})$

→ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$의 linear combination으로 $ℝ^2$을 만들 수 있음

3.2 nullspace

nullspace = $N(A) = \{x|Ax=0\}$ = homogeneous equation의 solution을 모아놓은 집합

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rank

$rank(A)$ = # of pivots

$rank(A) = rank(A^T)$

3.4 linear inidependence, basis, dimension

만약 $c_1v_1 + c_2v_2 + … + c_nv_n = 0$이 가능한 $c_1, c_2, … , c_n$만이 $c_1=c_2=…=c_n=0$ 밖에 없으면 $v_1, v_2, …, v_n$은 linearly independent하다.

A basis $β$ for a vector space $V$

1. $β$ is linearly independent
2. $span(β) = V$

pivot columns of $A$ = a basis for $C(A)$

pivot rows of $A$ = a basis for $C(A^T)$

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Dimension theorem

m×n matrix $A$의

$rank(A)$ + dimension of nullspace = pivot variable 개수 + free variable 개수 = n

3.5 dimension of the 4 subspaces

m×n matrix $A$의

$C(A^T)$: row space($ℝ^n$)

$C(A)$: column space($ℝ^m$)

$N(A)$: null space($ℝ^n$)

$N(A^T)$: left nullspace($ℝ^m$)