[선형 대수학] 선형대수와 선형 방정식

1. 선형 대수와 선형 시스템
2. 선형방정식의 소거법

고등 수학과 다를 것이 없는 내용이므로 이번 글에서는
위의 두개에 대하여 간단한 용어정리만 할것이다.

✔선형 대수학에서 다루게 될 내용 미리보기

• 선형 방정식
• 행렬 , 행렬식
• 벡터 , 벡터공간 , 내적과 외적, 고유값/고유벡터
• 선형변환

• 선형 방정식
  a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + ... + anxn = bn

• 선형 시스템

  • 유한개의 선형 방정식의 집합을 선형 시스템이라고 한다.
  • 입출력 관계가 선형으로 주어지는 시스템
  • 중첩의 원리가 성립

• 동차 선형 시스템(homogeneous system)

  • 선형 방정식에서 b1 = b2 ... bm = 0 일 경우를 말한다.
  • 이 경우 x1 = x2 ... xn = 0은 항상 동차 선형시스템의 해가 된다. ( = 자명해(trivial solution))
  • 만일 x1,x2,...xn 중 어느 하나라도 0 이 아닌 경우 비자명해(nontrivial solution)이라고 한다.

• 동치(equivalent)
  선형 방정식들이 똑같은 해를 가질 때 두 식이 동치라고 한다.
  

• 선형 방정식의 소거법

  1. 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
  2. 방정식들의 위치를 서로 교환한다.
  3. 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

  ✔ 예시 1 )

  2 x₁+ x₂+ x₃= 5
  4 x₁ - 6x₂= -2
  -2x₁+7 x₂ + 2x₃ = 9

  1) 전향 소거법 단계
  첫번째 식에 -2를 곱한 식 -4x₁-2x₂-2x₃= -10

  -4x₁-2x₂-2x₃= -10
        4x₁ - 6x₂= -2

  ---

       -8x₂-2x₃ = -12

  2 x₁+ x₂+ x₃= 5
         -8x₂-2x₃ = -12
  -2 x₁+7x₂ + 2x₃ = 9

  1번째 식과 3번째 식을 더한다.

  결과 : -8x₂-2x₃ = -12 , 8x₂+ 3x₃ = 14
  => x₃= 2

  2) 역대입법 단계
  x₃= 2를 1번째,2번째 식에 대입하여 x₂= 1, x₁ = 1 을 구한다