이 글은 2021년 7월 16일 노션에 작성한 것을 그대로 가져온 것입니다.

배경

대부분의 디자인 프로그램에는 곡선을 그리기 위한 도구가 있고, 그중에서 가장 많이 사용하는 것이 바로 베지어 곡선이다. 2019년에 제로켄이 베지어 곡선에 대해 알려준 적이 있고, 수학적으로 곡선을 나타내는 방식이라는 점에서 내가 탐구하지 않고는 지나갈 수 없는 주제라고 생각하여, 베지어 곡선에 대해 알아보았다.

위 그림은 2차 베지어 곡선의 모양에 대해 간단히 알려준다.

베지어 곡선

베지어 곡선은 세 점에서 시작한다. 세 점은 곡선을 시작할 점 1개, 곡선을 끝낼 점 1개, 그리고 곡선의 모양을 수정할 점 1개로 이루어진다. 각각의 점을 $P_1, P_3, P_2$이라고 하겠다.

이때, 각각의 점들을 순서대로 잇는 곡선의 한 선분에 대해, $t=0$일 때 시점 $P_n$, $t=1$일 때 종점 $P_{n+1}$까지 선형으로 움직이는 점 $Q_n$이 있다고 하자. $P$가 $n$개 있는 경우에는 이러한 $Q$가 $n-1$개 생긴다. 즉, 지금과 같은 상황에는 $Q_2$까지 있다.

이때, 두개의 점 $P$와 변수 $t$를 통해 $Q$를 도출해낸 것과 같이, 두개의 $Q$와 변수 $t$를 사용하면 새로운 점 $R$을 만들어낼 수 있다.

이때 생기는 점 $R$의 자취를 모아 집합으로 나타내면 하나의 그래프를 형성하는데, 이 그래프를 베지어 곡선이라고 한다.

위 예제에서는 초기값 $P$를 3개의 점으로 나타냈는데, 초기값인 $P$가 4개가 되면 2개의 $R$이 나오기 때문에 이 $R$들의 자취를 또 $S$라는 점으로 보간해주어야 하며, 이때 만들어지는 곡선도 베지어 곡선이나, 3번 보간한다는 뜻에서 3차 베지어 곡선이라고 한다.

즉, 위에서 본 $P$가 3개인 곡선은 2차 베지어 곡선이다.

수학으로 전개

위 장에서 사용한 변수의 이름을 그대로 사용하겠다. 단, 여기서는 점을 벡터를 다루듯이 할 것이다. 즉, 임의의 두 2차원 점 $A=(A_x,A_y), B=(B_x,B_y)$에 대해 임의의 연산 $A \cdot B$를 다음과 같이 정의한다.

이때, 함수 $\text{nrm}(v,l_1,l_2)$를 정의한다. 이 함수는 $v=l_1$일 때 $0$, $v=l_2$일 때 $1$을 가지며, $l_1$부터 $l_2$까지를 연속적으로 움직이는 $v$에 대해 함숫값이 선형으로 움직인다는 특징을 가진다. 이를 수학으로 표현하면 다음과 같다.

또한 이 함수의 역함수 $\text{nrm}^{-1}(n,l_1,l_2)$를 정의한다. 이 함수는 $n$이 $[0,1]$에서 선형으로 움직일 때 함숫값이 $[l_1,l_2]$에서 선형으로 움직인다. 이를 수학으로 표현하면 다음과 같다.

이 함수를 이용하면 $Q$를 구할 수가 있다. 임의의 자연수 $n$에 대해

이다. 이때, 2차 베지어 곡선을 위해서는 위와 같은 방식의 계산을 한 번 더 진행해야 하므로 $R_n$에 대해 전개하면 다음과 같다.

이때 2차 베지어 곡선은 $R=R_1$의 자취와 같으므로

이 $t\in[0,1]$에서 그리는 자취이다.

손으로 베지어 곡선 그리기

중학교 2학년 때에 옵아트(op art, optical art)에 대해서 알아보면서, 두개의 선분을 $n$등분한 뒤 그 점들을 이어 나타나는 면들에 서로 이웃하는 면과 다른 색을 칠하는 과정으로 면으로 채워진 곡면을 그림으로 나타낸 적이 있다.

이것 역시 베지어 곡선의 특성을 이용해서 미술적인 조형을 나타낸 예시라고 할 수 있겠다.