09. 최단경로

• 그리디, 다이나믹알고리즘역시 최단 경로 알고리즘에 속한다
• 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우
• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우

그래프 종류

• 무방향 그래프 : 방향성이 없는 그래프 (양방향)
• 방향 그래프 : 방향성이 있는 그래프 (일방통행)
• 가중치 그래프 : 간선에 가중치 값이 있는 그래프 ( weight)
  

그래프의 표현방법

인접행렬

• 2차원 배열을 이용해 그래프를 표현하는 방법
• 연결이 많은 그래프에서 사용하는데 유리

def solution(n, edges):
    answer=0
    graph = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)] #이차원 배열 생성
    for [x,y] in edges:
        graph[x][y]=1
        graph[y][x]=1
  #[배열생성됨] - x행1에 인접한 값은 2,4이다 
        0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 
   0   [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   '1' [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   2   [0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   3   [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   4   [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]        

인접리스트

• 연결 리스트를 이용해 그래프를 표현하는 방법
• 연결이 적은 그래프에서 사용하는데 유리

def solution(n, edges):
    answer = 0
    graph = [[] for _ in range(n+1)]
    for [a,b] in edges:
        graph[a].append(b)
        graph[b].append(a)
    # [[], [2, 4], [1, 3], [2], [1, 5], [4, 6], [5], [8, 10], [7, 9], [8], [7, 11], [10]]
    """
    0번 노드에 연결된 노드 []
    1번 노드에 연결된 노드 [2, 4]
    2번 노드에 연결된 노드 [1, 3]
    3번 노드에 연결된 노드 [2]
    """
    print(graph)
    return answer
print(solution(11, [[1, 2], [1, 4], [2, 3], [4, 5], [5, 6], [7, 8], [7, 10], [8, 9], [10, 11]]))

다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을때 동작
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다
  -> 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정 반복

다익스트라 최단 경로 알고리즘 특징

• 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다
  매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 순차탐색한다
• 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다
• 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대하여 비용계산과 갱신을 하는 과정이 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
• 단계를 거치며 한번 처리된 노드의 최단거리는 고정이 되어 더이상 바뀌지 않는다

동작과정

1. 출발노드를 설정
2. 최단 거리 테이블을 초기화
3. 방문하지 않은 노드중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다
5. 위 과정에서 3,4번을 반복

📌  예시1 - 가중치그래프 : 다익스트라 알고리즘

[입력]

입력값
6 11
1     # 시작노드 Start
1 2 2
1 3 5 # (1-> 3) 방향의 가중치가 5
1 4 1
2 3 3 
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

0. 초기상태

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]  ## 인접리스트 사용
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
"""
0. 초기상태 
graph [[], [], [], [], [], [], []]
visited [False, False, False, False, False, False, False]
distance [1000000000, 1000000000, 1000000000, 1000000000, 1000000000, 1000000000, 1000000000]
"""

1. 그래프 생성

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
"""
step1. graph생성 
graph [[], [(2, 2), (3, 5), (4, 1)], [(3, 3), (4, 2)], [(2, 3), (6, 5)], [(3, 3), (5, 1)], [(3, 1), (6, 2)], []]
-> graph[1]의 인접노드 2,3,4가 있고 각각의 가중치는 2,5,1이다 
"""

2. 가중치(최단거리) 저장

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1] ## j[0]: 인접노드 값 j[1]: 가중치
#   -----------------------
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

3. 최단거리 탐색

• 방문하지 않은 노드이며 가장 최단거리가 짧은 노드 탐색

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:#False일때 
            min_value = distance[i] #가중치들을 비교값 min_value로 비교 
            index = i #최단거리 노드 반환 
    return index

다시 최단 거리를 탐색 반복

    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node() ## 4번 최소값 리턴 
        visited[now] = True # 방문처리
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

📌 파이썬 힙 자료구조

우선순위 큐

우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조

• 오름차순 정렬

import heapq
# 오름차순 힙 정렬 heapSort
def heapsort(iterable):
    h=[]
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

• 내림차순 정렬

import heapq
# 오름차순 힙 정렬 heapSort
def heapsort(iterable):
    h=[]
    result = []
    # 모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in iterable:
        heapq.heappush(h, -value)
    # 힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1,3,5,7,9,2,4,6,8,0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

힙 자료구조

힙은 특정한 규칙을 가지는 트리로 최댓값과 최솟값을 찾는 연산을 빠르게 하기 위해 고안된 완전이진트리를 기본으로 한다

A가 B의 부모 노드이면 A의 키 값과 B의 키값 사이에는 대소 관계가 성립한다

• 최소 힙: 부모 노드의 키값이 자식 노드의 키값보다 항상 작은 힙
• 최대 힙: 부모 노드의 키값이 자식 노드의 키값보다 항상 큰 힙
  

파이썬 힙 함수

• heapq.heappush(heap, item) : item을 heap에 추가
• heapq.heappop(heap) : heap에서 가장 작은 원소를 pop & 리턴. 비어 있는 경우 IndexError가 호출됨.
• heapq.heapify(x) : 리스트 x를 즉각적으로 heap으로 변환함 (in linear time, O(N) )

📌  예시2 - 개선된 다익스트라 알고리즘

단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용한다.

• 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용하는 점이 다르다
• 현재의 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다
  
  

"""
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
"""
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))   #(가중치 dist, 노드번호 now)
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        ## 별도 방문처리 X
        ## 테이블에 기록된 거리값이 <dist(현재 꺼낸 거리값) 크다면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost ##무한값을 갱신 
                heapq.heappush(q, (cost, i[0])) ##해당 데이터를 q에 넣기
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

플로이드 워셜

• 모든 논드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산할때 사용한다
• 하지만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않는다
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다
• 프로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다

1. 각각의 노드가 다른 노드로 가는 가는 비용저장

• INF로 초기화, 자기자신의 경우 0
  

2. 노드 1을 거쳐가는 경우

"""
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2
"""
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

미래도시

"""
5 7
1 2
1 3
1 4
2 4
3 4
3 5
4 5
4 5
"""


INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]


# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A와 B가 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 X와 최종 목적지 노드 K를 입력받기
x, k = map(int, input().split())

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)

전보

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드를 입력받기
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    # X번 노드에서 Y번 노드로 가는 비용이 Z라는 의미
    graph[x].append((y, z))

def dijkstra(start):
   q = []
   # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
   heapq.heappush(q, (0, start))
   distance[start] = 0
   while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보를 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
# 도달할 수 있는 노드 중에서, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != 1e9:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)

# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_distance)

추가문제

컴퓨터 개수

• 인접리스트

def DFS(v, graph,ch, n):
    global answer
    ch[v]=1
    answer +=1

    for nv in graph[v]:
        if ch[nv]==0:
            DFS(nv, graph, ch, n)

def solution(n, edges):
    global answer
    answer = 0
    graph = [[] for _ in range(n+1)]
    for [a,b] in edges:
        graph[a].append(b)
        graph[b].append(a)

    ch = [0]*(n+1) # 체크
    DFS(1, graph, ch, n)

    return n-answer

print(solution(11, [[1, 2], [1, 4], [2, 3], [4, 5], [5, 6], [7, 8], [7, 10], [8, 9], [10, 11]]))
print(solution(12, [[1, 2], [1, 7], [1, 8], [1, 6], [8, 11], [11, 12]]))
print(solution(14, [[1, 6], [1, 5], [6, 7], [7, 8], [9, 8], [3, 4], [4, 14]]))
print(solution(15, [[1, 4], [1, 5], [9, 5], [9, 6], [7, 9], [7, 14]]))

• 인접행렬

answer = 0
def DFS(v, graph, ch, n):
    global answer
    ch[v]=1
    answer +=1
    for i in range(1, n+1):
        if graph[v][i] == 1 and ch[i]==0:
            DFS(i, graph, ch, n)

def solution(n, edges):
    global answer
    answer=0
    ch=[0]*(n+1)
    graph = [[0]*(n+1) for _ in range(n+1)] #이차원 배열 생성
    for [x,y] in edges:
        graph[x][y]=1
        graph[y][x]=1
    DFS(1, graph, ch, n)
    return n-answer

참고자료

https://velog.io/@taeil314/Data-StructureC-그래프-Graph
https://littlefoxdiary.tistory.com/3