10. 그래프
서로소 집합
서로소 집합이란 공퉝 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
{1,2} , {3,4} 관계는 서로소이다
{1,2}, {2,3} 관계는 서로소가 아니다.
서로소 집합 자료구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
서로소 집합 자료구조는 union, find 2개의 연산으로 조작할 수 있다.
union(합집합)연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.find(찾기)연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.
서로소 집합 구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다
1. union 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다
* A와 B의 루트 노드 a,b를 각각 찾는다
* a를 b의 부모 노드로 설정한다. (b가 a를 가르키도록 한다.)
2. 모든 union 연산을 처리할때까지 1번 과정을 반복한다. Union-Find 합집합(서로소 집합) 알고리즘
여러개의 노드가 존재할때 두개의 노드를 선택해서 현재 이 두노드가 서로 같은 그래프에 속하는지 판별하는 알고리즘
- 모든값이 자기 자신을 가리키도록 만든다.
- 연결이 된다면?
- 부모를 합칠때 더 작은 값쪽으로 합친다.
- 1-2-3 노드가 연결될 경우 각각의 부모노드는 (1,1,2)
- 1->1연결 2->1 연결 3->2연결이 된다는 생각으로 1-1-1 연결이된다
"""
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6
"""
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기 -> 루트노드를 반환함
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
#루트 노드 번호를 찾아 더 큰쪽이 작은쪽의 값으로 변경
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')팀결성
"""
7 8
0 1 3
1 1 7
0 7 6
1 7 1
0 3 7
0 4 2
0 1 1
1 1 1
"""
def find(parent, x):
if parent[x] != x:
parent[x] = find(parent, parent[x])
return parent[x]
def union(parent, a, b):
a = find(parent, a)
b = find(parent, b)
if a<b:
parent[b]=a
else:
parent[a]=b
n, m = map(int, input().split())
parent = [0]*(n+1)
# 자기자신으로 초기화
for i in range(0, n+1):
parent[i]=i
# 연산을 하나씩 확인
for i in range(m):
op, a, b = map(int, input().split())
if op == 0:
union(parent, a, b)
elif op == 1:
if find(parent, a) == find(parent, b):
print('YES')
else:
print('NO')서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
방향그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다 - 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다
- 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다
사이클 판별 알고리즘은 그래프에 포함되어 있는 간선 개수가 E개일때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작한다. 이 알고리즘은 간선에 방향성이 없는 무방향 그래프에서만 적용가능하다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")신장트리
하나의 그래프가 있을때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결
- 사이클이 존재하지 않음.
최소 신장 트리 - 크루스칼 알고리즘
- 그리디 알고리즘으로 분류
- 간선개수 = 노드 개수 -1
- 간선 데이터를 비용에 따라서 오름차순으로 정렬한다.
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생하는지 확인한다
- 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다
- 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)도시 분할 계획
문제 이해를 못함
"""
7 12
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 5 2
3 4 4
7 3 6
5 1 5
1 6 2
6 4 1
6 5 3
4 5 3
6 7 4
"""
def find(parent, x):
if parent[x]!=x:
parent[x] = find(parent, parent[x])
return parent[x]
def union(parent, a, b):
a = find(parent, b)
b = find(parent, b)
if a<b:
parent[b]=a
else:
parent[a]=b
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] *(v+1)
edges = []
answer = 0
for i in range(1, v+1):
parent[i]=i
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
edges.append((cost, a, b))
edges.sort()
last = 0
for edge in edges:
cost, a, b = edge
if find(parent, a) != find(parent, b):
union(parent, a, b)
answer += cost
last = cost
print(answer - last)
n, m = map(int, input().split())위상정렬
순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할때 사용할 수 있는 알고리즘. 위상정렬이란 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것이다.
- 사이클이 없는 방향 그래프여야만 한다
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
from collections import deque
import copy
# 노드의 개수 입력받기
v = int(input())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 각 강의 시간을 0으로 초기화
time = [0] * (v + 1)
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for i in range(1, v + 1):
data = list(map(int, input().split()))
time[i] = data[0] # 첫 번째 수는 시간 정보를 담고 있음
for x in data[1:-1]:
indegree[i] += 1
graph[x].append(i)
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = copy.deepcopy(time) # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
result[i] = max(result[i], result[now] + time[i])
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in range(1, v + 1):
print(result[i])
topology_sort()
개발기록
개발자로서 성장하는 데 큰 도움이 된 글이었습니다. 감사합니다.