[이코테] 최단경로 알고리즘-서로소, 신장 트리, 위상정렬

서로소 집합

• 공통원소 없는 두 집합

서로소 집합 자료구조 동작 과정
두 종류의 연산을 지원한다.

• 합집합 : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나로 합치는 연산
• 찾기 : 특정원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

step1을 반복 하면 결과로 부모노드는 112156이 된다.

• 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
• 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야한다.
  • 3노드가 1로 바로 접근 안되는 것처럼

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기 -a,b의 루트노드 중 더 큰 쪽이 작은쪽을 부모로 설정하게 함
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

합집합 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기 함수가 비효율적으로 동작하고 최악의 경우 시간 복잡도 O(V)이다. 따라서 최적화 기법으로 경로압축을 이용한다.

• 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다. = 해당 노드의 루트노드가 바로 부모 노드가 된다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.

알고리즘

1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다 = 찾기

   a. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대해 합집합 연산 수행
   b. 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것으로 간주

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대해 1번 과정 반복

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x]) # 압축기법사용!! 
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

신장 트리

그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프

• 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이다.
  

• 최소 신장 트리 - 최소비용으로 구성되는 신장 트리는 찾는 것
  

알고리즘 - 크루스칼 알고리즘

1. 간선 비용에 따라 오름차순으로 정렬

2. 하나씩 확인하며 현재 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
   a. 사이클 발생하는 경우 최소신장트리에 포함시키지 않는다

3. 모든 간선에 대해 2과정 반복

4. 최소 신장 트리에 포함되어있는 간선 비용만 모두 더하면 그 값이 최종 비용에 해당한다.

• 간선 개수는 노드개수 -1 이다! 시간 복잡도는 O(ELogE)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

위상 정렬

사이클이 없는(순환하지 않는) 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열 한 것

예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 진입차수 : 특정 노드로 들어오는 간선 개수
• 진출차수 : 특정 노드에서 나가는 간선 개수

큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘

1. 진입차수가 0인 모든노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   a. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
   b. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

• 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬 특징

모든 원소가 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

• 시간 복잡도 : O(V+E)

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화 
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능 = b에 들어오는게 있다
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기 =나가는 간선 제거
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()