[그리디] 코딩테스트 문제 TIL (카드 정렬하기) - 백준 1715번

말하는 감자·2024년 12월 17일

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1. 오늘의 학습 키워드

Greedy
Heap

2. 문제: 1715. 카드 정렬하기

단계: 🥇 골드 4단계
주제:
출처: https://www.acmicpc.net/problem/1715

문제

정렬된 두 묶음의 숫자 카드가 있다고 하자. 각 묶음의 카드의 수를 A, B라 하면 보통 두 묶음을 합쳐서 하나로 만드는 데에는 A+B 번의 비교를 해야 한다. 이를테면, 20장의 숫자 카드 묶음과 30장의 숫자 카드 묶음을 합치려면 50번의 비교가 필요하다.

매우 많은 숫자 카드 묶음이 책상 위에 놓여 있다. 이들을 두 묶음씩 골라 서로 합쳐나간다면, 고르는 순서에 따라서 비교 횟수가 매우 달라진다. 예를 들어 10장, 20장, 40장의 묶음이 있다면 10장과 20장을 합친 뒤, 합친 30장 묶음과 40장을 합친다면 (10 + 20) + (30 + 40) = 100번의 비교가 필요하다. 그러나 10장과 40장을 합친 뒤, 합친 50장 묶음과 20장을 합친다면 (10 + 40) + (50 + 20) = 120 번의 비교가 필요하므로 덜 효율적인 방법이다.

N개의 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어질 때, 최소한 몇 번의 비교가 필요한지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000) 이어서 N개의 줄에 걸쳐 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어진다. 숫자 카드 묶음의 크기는 1,000보다 작거나 같은 양의 정수이다.

출력

첫째 줄에 최소 비교 횟수를 출력한다.

예제 입력 1 복사

예제 출력 1 복사

3. 문제 풀이

Step1. 문제 이해하기

이 문제는 최소 비교 횟수를 구하기 위한 문제입니다. 두 묶음을 합칠 때마다 비용이 발생하며, 이 비용은 묶음의 크기의 합과 같습니다.

예를 들어 10장, 20장, 40장의 묶음이 있다면 10장과 20장을 합친 뒤, 합친 30장과 묶음과 40장을 합친다면 (10 + 20) + (30 + 40) = 100번의 비교가 필요합니다.

그러나 10장과 40장을 합친 뒤, 합친 50장 묶음과 20장을 합친다면 (10 + 40) + (50 + 20) = 120번의 비교가 필요하므로 이전 방법보다 덜 효율적인 방법입니다.

이렇게 어떻게 묶냐에 따라 결과가 다양하기 때문에 주어진 문제는 최소 비교 횟수를 구하라고 합니다.

우선, 입출력을 살펴보도록 하겠습니다.

Input:
- 첫째 줄에 N이 주어집니다. N은 1이상 $10^5$ 이하입니다. 즉, $O(n^2)$ 보단 효율적인 시간 복잡도로 코드를 구성해야 합니다.
- 이어서 N개의 줄에 걸쳐 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어집니다.
Output:
- 최소 비교 횟수를 출력합니다.

Step2. 문제 분석하기

이 문제는 최소 비교 횟수를 구하기 위한 문제입니다. 두 묶음을 합칠 때마다 비용이 발생하며, 이 비용은 묶음의 크기의 합과 같습니다.

주어진 카드 묶음을 합칠 때 최소 비용을 구하려면 작은 묶음부터 합쳐야 합니다. 왜냐하면 작은 묶음을 먼저 합치면 이후 발생하는 비용을 최소화할 수 있기 때문입니다.

합쳐진 묶음 또 다시 사용되어야 합니다. 작은 묶음부터 합치며 합쳐진 묶음은 다시 사용되어야 합니다. 즉. 다시 넣기도 좋으면서 계속해서 최소값을 뽑을수 있는 우선순위 큐(최소 힙)를 사용해서 가장 작은 두 묶음을 반복해서 선택하는 것입니다.

Step3. 코드 설계

카드 묶음의 크기를 우선순위 큐(최소 힙)에 저장합니다.
최소 힙에서 가장 작은 두 묶음을 꺼냅니다.
이 두 묶음을 합친 비용을 계산하고 비용을 누적합니다.
합친 결과를 다시 최소 힙에 추가합니다.
최소 힙에 더 이상 두 묶음이 남지 않을 때까지 위 과정을 반복합니다.
누적된 비용을 출력합니다.

이 과정에서 우선순위 큐는 작은 묶음을 빠르게 찾을 수 있기 때문에 시간 복잡도는 $O(N \log N)$ 입니다.

Step4. 코드 구현

import sys
from heapq import heappush, heappop

N = int(sys.stdin.readline().strip())

def sol(N):
    heap = []
    result = 0
    for _ in range(N):
        heappush(heap, int(sys.stdin.readline().strip()))
    
    while len(heap) > 1:
        first = heappop(heap)
        second = heappop(heap)
        
        current_cost = first + second
        result += current_cost
        heappush(heap, current_cost)
    return result
print(sol(N=N))

코드 설명:
- 입력 처리:
  - heapq 모듈을 사용하여 최소 힙을 구현합니다.
  - 카드 묶음의 크기를 입력받아 최소 힙에 추가합니다.
- 최소 비교 횟수 계산:
  - 힙에서 가장 작은 두 값을 꺼내서 합칩니다.
  - 합친 비용을 누적하고, 합친 결과를 다시 힙에 넣습니다.
  - 이 과정을 힙에 원소가 1개 남을 때까지 반복합니다.
- 출력:
  - 누적된 비용을 출력합니다.
시간 복잡도:
1. 카드 묶음의 크기를 힙에 추가하는 데 $O(NlogN)$ 시간이 소요됩니다.
2. 힙에서 두 값을 꺼내고 합친 뒤 다시 힙에 넣는 작업은 N−1번 수행됩니다.
  - 각 연산은 O(logN)이므로 총 O(NlogN)입니다.
  
  따라서 전체 시간 복잡도는 $O(N \log N)$ 입니다.
결과: