문제

https://www.acmicpc.net/problem/1647

동물원에서 막 탈출한 원숭이 한 마리가 세상 구경을 하고 있다. 그러다가 평화로운 마을에 가게 되었는데, 그곳에서는 알 수 없는 일이 벌어지고 있었다.

마을은 N개의 집과 그 집들을 연결하는 M개의 길로 이루어져 있다. 길은 어느 방향으로든지 다닐 수 있는 편리한 길이다. 그리고 각 길마다 길을 유지하는데 드는 유지비가 있다.

마을의 이장은 마을을 두 개의 분리된 마을로 분할할 계획을 가지고 있다. 마을이 너무 커서 혼자서는 관리할 수 없기 때문이다. 마을을 분할할 때는 각 분리된 마을 안에 집들이 서로 연결되도록 분할해야 한다. 각 분리된 마을 안에 있는 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재해야 한다는 뜻이다. 마을에는 집이 하나 이상 있어야 한다.

그렇게 마을의 이장은 계획을 세우다가 마을 안에 길이 너무 많다는 생각을 하게 되었다. 일단 분리된 두 마을 사이에 있는 길들은 필요가 없으므로 없앨 수 있다. 그리고 각 분리된 마을 안에서도 임의의 두 집 사이에 경로가 항상 존재하게 하면서 길을 더 없앨 수 있다. 마을의 이장은 위 조건을 만족하도록 길들을 모두 없애고 나머지 길의 유지비의 합을 최소로 하고 싶다. 이것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 집의 개수 N, 길의 개수 M이 주어진다. N은 2이상 100,000이하인 정수이고, M은 1이상 1,000,000이하인 정수이다.

그 다음 줄부터 M줄에 걸쳐 길의 정보가 A B C 세 개의 정수로 주어지는데 A번 집과 B번 집을 연결하는 길의 유지비가 C (1 ≤ C ≤ 1,000)라는 뜻이다.

출력

첫째 줄에 없애고 남은 길 유지비의 합의 최솟값을 출력한다.

예제

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풀이

신장 트리 (Spanning Tree)는 모든 정점을 연결하는 부분 그래프 중에서 간선의 사이클을 제외한 트리이다.

그 중에서 간선의 가중치 합이 가장 작은 트리를 최소 신장 트리 (Minimum Spanning Tree, MST)라고 한다.

MST를 구하는 대표적인 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘이 있다.

크루스칼 알고리즘은 간선 비용을 기준으로 오름차순 정렬하고, 비용이 작은 간선부터 MST에 포함시킨다. 단, 사이클을 형성하는 간선은 포함시키지 않는다.

이 문제는 분할된 두 도시에 있는 간선 가중치 합의 최솟값을 구하는 문제이다.

이를 위해 우선 하나의 MST를 만들고, 그 중에서 비용이 가장 큰 간선을 제외하면 답을 구할 수 있다. 즉, MST에 포함된 모든 간선의 가중치 합을 구하고, 그 중에서 가장 큰 비용을 빼면 최솟값이 되는 것이다.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;

const int MAX = 100001; 
int N, M; 
vector<pair<int, pii>> edges; 
int parent[MAX]; 
int answer = 0; 

void input() {
	cin >> N >> M; 

	// 부모 노드 배열 초기화 
	for(int i = 1; i <= N; i++){
		parent[i] = i; 
	}

	// 간선 정보 저장 
	for(int i = 0; i < M; i++){
		int a, b, c; 
		cin >> a >> b >> c;
		edges.push_back({c, {a, b}});
	}
}


// 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출하고 
// 배열에 루트 노드 번호를 저장한다. 
int findRootNode(int x){
	if(x == parent[x]) return x;
	return parent[x] = findRootNode(parent[x]);
}

// 사이클을 만들지 않는 두 집합을 합친다. 
void unionSet(int a, int b) {
	if(a < b) parent[b] = a; 
	else parent[a] = b; 
}

void solution() {
	// 간선 비용을 기준으로 오름차순 정렬
	sort(edges.begin(), edges.end());

	// 간선 비용이 작은 것부터 MST에 포함시키기 
	int maxCost = 0;
	for(int i = 0; i < M; i++){
		int cost = edges[i].first; 
		int a = edges[i].second.first; 
		int b = edges[i].second.second; 

		// 사이클을 형성하지 않는 경우만 합친다.
		int rootA = findRootNode(a);
		int rootB = findRootNode(b);
		
		if(rootA != rootB){
			unionSet(rootA, rootB); 
			maxCost = max(maxCost, cost); 
			answer += cost; 
		}
	}

	// MST에 포함되는 간선 중에서 비용이 제일 큰 것은 제외한다. 
	cout << answer - maxCost;
}

int main()
{	
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);

	input(); 

	solution(); 
	
	return 0; 
}