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경우의 수
1. 시행과 표본공간
시행
확률론에서 시행은 1) 무한히 반복될 수 있고 2)가능한 모든 결과에 대해 잘 정의된 집합 (동전 던지기, 주사위 .. ) 을 갖는 행위이다. 이 집합은 표본공간이라고 부른다 .
표본공간
어떤 시행에서 발생할 수 있는 모든 결과를 모아놓은 집합
: 동전 {앞, 뒤} 주사위 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. 사건
사건은 시행 결과들의 집합이다. 이 집합에는 확률이 할당되어 있다.
표본공간의 부분 집합
주사위 홀수 사건 : {1, 3, 5} = 3/6
주사위 짝수 사건 : {2, 4, 6} = 3/6
3. 합사건, 곱사건, 배반사건, 여사건
어떤 시행의 표본공간 : S
📝주사위 던지기
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : 홀수의 눈이 나오는 사건 = {1, 3, 5}
B : 짝수의 눈이 나오는 사건 = {2, 4, 6}
C : 3이상의 눈이 나오는 사건 = {3, 4, 5, 6}
A와 B의 합사건 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A와 C의 곱사건 : {3, 5}
A와 B는 배반 사건인가? : 교집합이 없으므로 배반사건
C의 여사건 : 표존공간에서 C를 제외한 나머지 : {1, 2}
4. 순열과 조합
순열 : 순서가 있는 나열
서로다른 n개 중에서 r개를 뽑아서 순서가 있게 나열하는 것
a, b, c 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 순열
= {(a,b), (a,c), (b,a), (b,c), (c,a), (c,b)}
a, b, c, d, e 중 2개를 선택
5P2 = 5!/(5-2)! = 5*4 = 20
조합 : 순서가 없는 나열
서로다른 n개 중에서 순서에 상관없이 r개를 선택하는 것
a, b, c 세개의 알파벳 중에서 2개를 택하는 순열
= {(a,b), (a,c), (b,c)}
a, b, c, d, e 중 2개를 선택
5C2 = 5! / (5-2)!(2!) = 5*4/2*1 = 10
조합의 성질
1) nCr = nC(n-r)
A, B, C, D, E 중 3 개를 뽑는 조합
📝 직관적인 이해
ABC (DE)
ABD (CE)
ABE (CD)
BCD (AE)
...
5C3 = 5C2 📝 수학적인 이해
nC(n-r) = n!/(n-r)!(n-(n-r))!
= n!/(n-r)!(n-n+r)!
= n!/(n-r)!*r!
2) nCr = (n-1)Cr + (n-1)C(r-1)
5C3 = 4C3 + 4C2 📝 직관적인 이해
- A B C D E 중 3개 뽑는 경우
5C3 = 5!/(5-3)!*3! = 10
ABC BCD
ABD BCE
ABE BDE
ACD CDE
ACE
ADE
4C2 + 4C3📝 수학적인 이해
nCr = (n-1)Cr + (n-1)C(r-1)
= (n-1)!/(n-1-r)!r! + (n-1)!/(n-r)!(r-1)!
= (n-r) * (n-1)!/ (n-r) * (n-1-r)!r! + r * (n-1)!/ r * (n-r)!(r-1)!
= (n-r) * (n-1)!/(n-r)!r! + r * (n-1)!/(n-r)!r!
= n*(n-1)!-r(n-1)!+r(n-1)! / (n-r)!r!
= n*(n-1)! / (n-r)!r!
= n! / (n-r)!r!
= nCr 사건과 경우의 수
사건 : 어떤 시행의 결과들의 집합
경우의 수 : 사건의 원소의 개수
서로 다른 주사위 두개를 던질 때, 두 눈의 합이 11인 경우의 수
사건 : { (5,6), (6,5) }
경우의 수 : (5,6) (6,5)
확률
사건의 개수 / 표본공간(S)의 개수
사건 A가 발생할 확률 : P(A) = n(A)/n(S)
확률의 덧셈정리
사건 A 또는 B가 발생할 확률 = P(A∪B)
P(A∪B) = n(A∪B)/n(S)
= n(A)+n(B)-n(A∩B) / n(S)
= P(A)+P(B)-P(A∩B)
조건부 확률
사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률 = P(A|B)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
확률의 곱셈정리
사건 A와 B가 동시에 일어날 확률
1) P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
2) P(A∩B) = P(B|A) * P(A)
