Chapter 1 Introduction to Vectors

Kamator0·2026년 5월 10일

The variety of Linear Algebra

그림 순선대로 대칭행렬 직교행렬 삼각행렬이 있다 추후에 자세하게 알게될 것이다.
수학을 배우는 핵심 목표 중 하나는 행렬을 ‘읽는 법’을 익히는 것이다. 숫자들 속에 들어 있는 의미 즉 패턴과 그 뜻을 볼 수 있어야 한다.

Introdution to Vectors

선형대수의 핵심은 두가지 연산 둘 다 벡터에 대한 연산에 있다. 벡터를 더해서 v+w를 만든다. 또 수 c,d를 vector에 곱해 cv,dw를 만든다. 이 두 연산을 결합 (cv+dw)를 하면 선형 결합 cv+dw가 된다.

예시이다

생각해보자!!

벡터 cv 들은 한 직선 위에 놓인다. w가 그 직선 위에 있지 않다면, 결합 cv+dw들은 전체 2차원 평면(plane)을 채운다. 4차원 공간에서 4개의 vector u,v,w,z로 시작하면 그들의 결합 cu+dv+ew+fz는 대개 공간 전체를 채우게된다. 항상 그렇지는 않지만 벡터들과 그 결합들은 어떤 경우에는 한 평면이나 한 직선 위에 놓일 수 있다.

챕터 1은 모든 것이 기반을 두는 이러한 핵심 아이디어들을 설명한다. 우리는 먼저 그리기 쉬운 2차원·3차원 벡터부터 시작한다. 그 다음 더 높은 차원으로 나아간다. 선형대수의 정말 인상적인 점은 n 차원 공간으로의 이 도약이 매우 매끄럽게 이루어진다는 것이다. 비록 10차원 벡터를 실제로 그릴 수는 없더라도, 머릿속 그림은 완전히 올바른 상태로 유지된다.

1.1 절에서는 vector v+w 덧셈 그리고 선형 결합(linear combinations) cv+dw
1.2 절에서는 내적 (dot product) v $\cdot$ w 그리고 length $\begin{Vmatrix}v\\ \end{Vmatrix}$
1.3 절에서는 Matrices A, 선형방정식(linear equations) Ax = b, solutions x = $A^{-1}$ b

1.1 Vectors and Linear Combinations

정의
임의의 두 벡터 ( $\mathbf v$ , $\mathbf w$ )의 전형적인 선형 결합은
$c\mathbf v + d\mathbf w.$
예시 계산
$\mathbf v=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\quad \mathbf w=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$
이면
$3\mathbf v+5\mathbf w =3\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +5\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3+10\\3+15\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}13\\18\end{bmatrix}.$
성분 분해(기하 해석)
$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$
( $\Rightarrow$ ) (xy)-평면에서 (x=2)만큼, (y=3)만큼 이동.
평면 채우기(2차원)
$c\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} +d\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
적절한 (c,d)로 모든 ( $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ )를 만들 수 있어 (xy) 평면을 전부 채움.
3차원에서의 평면
$c\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} +d\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$
은 (xyz) 공간에서 하나의 평면을 이룸. (예: ( $\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}$ )도 그 평면 위)
해가 없는 예(일관성 검사)
$\begin{cases} c+2d=1\\ c+3d=0\\ c+4d=0 \end{cases} \qquad\Rightarrow\qquad \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$
오른쪽 벡터 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 는 위 5번의 평면 위에 없으므로(세 식을 합하면 좌변 (=0), 우변 (=1)) 해가 없다.

표기와 해석

벡터는 열 벡터로 쓴다: ( $\mathbf v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}$ ).
덧셈/뺄셈은 성분별: ( $\mathbf v\pm\mathbf w=\begin{bmatrix}v_1\pm w_1\\ v_2\pm w_2\end{bmatrix}$ ).
스칼라 곱: ( $c\mathbf v=\begin{bmatrix}cv_1\\cv_2\end{bmatrix}$ ), ( $-\mathbf v=\begin{bmatrix}-v_1\\-v_2\end{bmatrix}$ ).
영벡터 ( $\mathbf 0=(0,0,\dots)$ ) 은 숫자 0과 구분되는 객체.

1.1 선형 결합

정의와 시각화

선형 결합: ( $c\mathbf v + d\mathbf w$ ). 특수 경우: ( $\mathbf v\pm\mathbf w$ ), (0), ( $c\mathbf v$ ).
화살표 덧셈(머리-꼬리, 평행사변형)으로 시각화:
( $\mathbf v=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$ , $\ \mathbf w=\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$ ) 이면
( $\mathbf v+\mathbf w=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ ), ( $\mathbf v-\mathbf w=\begin{bmatrix}5\\0\end{bmatrix}$ ).

3D 선형 결합과 평면/공간

( $c\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}$ ) 은 3D에서 평면.

The Important Questions

Vector $c\mathbf u, d\mathbf v, e\mathbf w$ 가 있다고 가정하자
만약 $e\mathbf w$ 가 $c\mathbf u, d\mathbf v$ 로 표현이 가능하다고 했을 때 $c\mathbf u +d\mathbf v$ 세 vector의 결합도 평면을 벗어나지 못하기 때문에 3차원인거 마냥 착각할 수 있다는 것이다.
만약 $e\mathbf w$ 가 $c\mathbf u, d\mathbf v$ 로 표현이 불가 할 경우 $e\mathbf w$ 가 $c\mathbf u, d\mathbf v$ 로 만들어진 평면 안에 있진 않기 때문에 3차원 공간 전체를 채울 것이다.

Worked Example 1.1A — 평면 (y=x+z)

( $\mathbf v=(1,1,0)$ , $\ \mathbf w=(0,1,1)$ ) 의 모든 결합:
[ $c\mathbf v+d\mathbf w=(c,\,c+d,\,d).$ ]
항상 (y=x+z). 따라서 평면 밖의 예: ((1,2,3)) (왜냐하면 (2 $\neq1+3$ )).
법선 ( $\mathbf n=(1,-1,1)$ ) 에 수직: ( $\mathbf v\cdot\mathbf n=\mathbf w\cdot\mathbf n=0$ ).

1.2 길이와 내적

정의

내적(점곱): v · w = Σ vᵢwᵢ
길이: ‖v‖ = √(v · v)
단위벡터: u = v / ‖v‖ (단, v ≠ 0)

예와 성질

(4, 2) · (−1, 2) = 0 → 직교
v · w = w · v (교환법칙)
각 θ: cos θ = (v · w) / (‖v‖ ‖w‖), |cos θ| ≤ 1
코시–슈바르츠 부등식: |v · w| ≤ ‖v‖ ‖w‖
삼각부등식: ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖
부호와 각: v · w > 0 ⇒ θ < 90°, < 0 ⇒ θ > 90°

단위원과 단위벡터

2D: u = (cos θ, sin θ), u · u = 1
3D 길이 예: (1, 2, 3)의 길이 √14; 피타고라스 확장

1.3 행렬 (Matrices)

행렬 × 벡터 = 열들의 선형 결합

A = [1   0   0]       [  x₁  ]
    [-1  1   0]  Ax = [x₂-x₁ ] = b
    [0  -1   1]       [x₃-x₂ ]

각 성분은 행과 x의 내적으로도 해석 가능
관점 전환: x₁u + x₂v + x₃w (열 결합) ⟺ Ax

차분 행렬과 제곱수/홀수

x = (1, 4, 9) ⇒ Ax = (1, 3, 5) (제곱수의 차분은 홀수)
4×4 에서도 같은 패턴: 다음 차이는 7

연립방정식과 역행렬

삼각 행렬 A → 위에서 아래로 풀이 가능:
- x₁ = b₁
- x₂ = b₁ + b₂
- x₃ = b₁ + b₂ + b₃
합 행렬 A⁻¹:

A⁻¹ = [1  0  0]
      [1  1  0]     x = A⁻¹b
      [1  1  1]

미적분과의 비유

Ax = b ≈ x'(t) = b(t) → 후진 차분 ≈ 미분
x = A⁻¹b ≈ x(t) = ∫₀ᵗ b(τ)dτ → 누적합 ≈ 적분
x(t) = t²: 후진 차분 2t−1, 전진 2t+1, 중심 차분 (x(t+1)−x(t−1))/2 = 2t (정확)

순환 차분 C 와 일관성 조건

C = [ 1   0  -1]
    [-1   1   0]    Cx = b 의 좌변 합은 항상 0
    [ 0  -1   1]

필요조건: b₁ + b₂ + b₃ = 0
w = −u − v 로 세 열이 평면에 놓이면 종속 → 역행렬 없음

독립 vs 종속 (기하적 해석)

독립: αu + βv + γw = 0 ⇒ α = β = γ = 0 → 3D 전체
종속: 한 평면(예: b₁ + b₂ + b₃ = 0)에 갇힘

1.3A 해

A = [ 1   0   0]
    [-1   1   0]     x₁ = b₁, x₂ = b₁+b₂, x₃ = b₂+b₃
    [ 1  -1   1]

A⁻¹ = [1  0  0]
      [1  1  0]
      [0  1  1]

1.3B 제거 행렬 E

E = [1   0]          b = Ex = (x₁, x₂ − ℓx₁)
    [-ℓ  1]

E⁻¹ = [1  0]        x = E⁻¹b = (b₁, b₂ + ℓb₁)
      [ℓ  1]

가우스 소거의 기본 벽돌 → LU 분해의 씨앗

1.3C 중심 차분 (3×3, 4×4, 5×5)

3×3 (특이)

C₃ = [ 0   1   0]        [  x₂  ]
     [-1   0   1]   Cx = [x₃−x₁ ] = b
     [ 0  -1   0]        [ −x₂  ]

합 제약: b₁ + b₃ = 0. 모든 열이 이 평면에 있어 역 없음

4×4 (가역)

C₄ = [ 0   1   0   0]
     [-1   0   1   0]
     [ 0  -1   0   1]
     [ 0   0  -1   0]

동차식 C₄x = 0 ⇒ x = 0 → 가역
예시: b = (1, 2, 3, 4)ᵀ ⇒ x = (−6, 1, −4, 4)ᵀ 유일

5×5 (특이, 증명)

C₅ = [ 0   1   0   0   0]
     [-1   0   1   0   0]
     [ 0  -1   0   1   0]
     [ 0   0  -1   0   1]
     [ 0   0   0  -1   0]

영공간 벡터 존재: x = (t, 0, t, 0, t)ᵀ (t ≠ 0) → 특이
일관성 조건: b₁ + b₃ + b₅ = 0 (불만족시 해 없음)
만족 시 자유변수 포함 무한히 많은 해

행렬식 패턴

삼대각 점화식 Dₙ = Dₙ₋₂, D₁ = 0, D₂ = 1
⇒ D₃ = 0, D₄ = 1, D₅ = 0
짝수 n: det ≠ 0 (가역), 홀수 n: det = 0 (특이)

선형대수의 다양성

오늘날 필수 언어: 벡터와 행렬. 많은 응용이 이산/디지털
행렬을 "읽는 법"이 목표: 숫자 속 패턴과 의미를 본다

대표 행렬

대칭 행렬:

[ 2  -1   0   0]
[-1   2  -1   0]
[ 0  -1   2  -1]
[ 0   0  -1   2]

직교 행렬 (×½):

[1   1   1   1]
[1  -1   1  -1]
[1   1  -1  -1]
[1  -1  -1   1]

삼각 행렬:

[1  1  1  1]
[0  1  1  1]
[0  0  1  1]
[0  0  0  1]

메시지: 선형대수는 멋진 과목이다. 즐겨라.

부록 — 빠른 요약

v · w = Σ vᵢwᵢ, ‖v‖ = √(v · v)
cos θ = (v · w) / (‖v‖ ‖w‖), |cos θ| ≤ 1
|v · w| ≤ ‖v‖ ‖w‖ (코시–슈바르츠)
‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ (삼각부등식)
차분(후진/전진/중심)과 미분/적분의 비유: A ↔ 미분, A⁻¹ ↔ 적분
독립/종속: 평면/공간을 채우는지 여부의 핵심 기준

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