Probability and Statistics Appendix

멱급수 미분 트릭 (Power Series Differentiation)

출발점: 등비급수

$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \quad (|q| < 1)$

---

핵심 아이디어

양변을 $q$로 미분하면 새로운 급수 공식이 나온다!

수렴하는 급수는 항별로 미분 가능 (균등수렴 조건):

$\frac{d}{dq} \sum_{k=0}^{\infty} f_k(q) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{d}{dq} f_k(q)$

---

1번 미분

$\frac{d}{dq} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{d}{dq} \frac{1}{1-q}$

$\therefore \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2}$

2번 미분

$\therefore \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) q^{k-2} = \frac{2}{(1-q)^3}$

3번 미분

$\therefore \sum_{k=3}^{\infty} k(k-1)(k-2) q^{k-3} = \frac{3!}{(1-q)^4}$

---

패턴 정리

미분 횟수	급수	닫힌 형태
0번	$\sum_{k=0}^{\infty} q^k$	$\dfrac{1}{1-q}$
1번	$\sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1}$	$\dfrac{1}{(1-q)^2}$
2번	$\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)q^{k-2}$	$\dfrac{2}{(1-q)^3}$
$n$번	$\sum_{k=n}^{\infty} k(k-1)\cdots(k-n+1)q^{k-n}$	$\dfrac{n!}{(1-q)^{n+1}}$

---

왜 $k(k-1)$이 나오나?

$q^k$를 미분할 때마다 지수가 앞으로 내려옴:

$q^k \xrightarrow{\times 1} kq^{k-1} \xrightarrow{\times 2} k(k-1)q^{k-2} \xrightarrow{\times 3} k(k-1)(k-2)q^{k-3}$

---

활용: 기하분포 적률 계산

$E(X)$

$E(X) = p\sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} = p \cdot \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{p}$

$E(X^2)$
$k^2 = k(k-1) + k$ 로 분해:

$E(X^2) = pq \cdot \frac{2}{p^3} + \frac{1}{p} = \frac{2q}{p^2} + \frac{1}{p} = \frac{q+1}{p^2}$

$\text{Var}(X)$

$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{q+1}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2}$

---

주의사항

• $|q| < 1$ 수렴 범위 안에서만 항별 미분 가능
• $|q| \geq 1$ 이면 발산 → 미분 불가