본 내용은 나동빈 님의 ‘이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬’ 책을 공부하며 쓴 글입니다.

다익스트라(데이크스트라) 최단 경로 알고리즘

개념

• 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발해 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘.
• ‘음의 간선(0보다 작은 값을 가지는 간선)’이 없을 때 정상적으로 동작함.
• 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에, 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류됨.

동작 원리

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해, 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번 과정을 반복한다.

힙(heap)을 이용한 다익스트라 알고리즘

: 힙 이용 없이 알고리즘을 그대로 구현하면, 매번 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인해야 한다. 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면, 문제를 해결하기 어려워진다. 힙 자료구조를 이용하게 되면, 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아 처리하므로 출발 노드부터 가장 거리가 짧은 노드를 더 빠르게 찾을 수 있다.

• 힙(heap)이란?

  • 우선순위 큐 기능을 구현하고자 할 때 사용되는 자료구조 중 하나.
  • 파이썬에서는 힙 기능을 위해 heapq 라이브러리를 제공함.
  • 파이썬의 힙은 최소 힙으로 구성되어 있으므로 단순히 원소를 힙에 전부 넣었다가 빼는 것만으로도 시간 복잡도 O(NlogN)에 오름차순 정렬이 완료됨.

• 최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Max Heap)

  • 최소 힙은 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제되고, 최대 힙은 값이 큰 데이터가 먼저 삭제된다.
  • 파이썬에서는 최대 힙을 제공하지 않는다. heapq 라이브러리를 이용해 최대 힙을 구현해야 할 때는 원소의 부호를 임시로 변경하는 방식을 사용한다.

다익스트라 알고리즘 소스코드

DFS/BFS 소스코드와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다.

import heapq

# sys.stdin.readline() 이란 파이썬 내장 함수로 input()을 치환하면,
# 입력 데이터 수가 많아도 빠르게 동작 가능하다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heqpq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print(“INFINITY”)
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])