문제
젤다의 전설 게임에서 화폐의 단위는 루피(rupee)다. 그런데 간혹 '도둑루피'라 불리는 검정색 루피도 존재하는데, 이걸 획득하면 오히려 소지한 루피가 감소하게 된다!
젤다의 전설 시리즈의 주인공, 링크는 지금 도둑루피만 가득한 N x N 크기의 동굴의 제일 왼쪽 위에 있다. [0][0]번 칸이기도 하다. 왜 이런 곳에 들어왔냐고 묻는다면 밖에서 사람들이 자꾸 "젤다의 전설에 나오는 녹색 애가 젤다지?"라고 물어봤기 때문이다. 링크가 녹색 옷을 입은 주인공이고 젤다는 그냥 잡혀있는 공주인데, 게임 타이틀에 젤다가 나와있다고 자꾸 사람들이 이렇게 착각하니까 정신병에 걸릴 위기에 놓인 것이다.
하여튼 젤다...아니 링크는 이 동굴의 반대편 출구, 제일 오른쪽 아래 칸인 [N-1][N-1]까지 이동해야 한다. 동굴의 각 칸마다 도둑루피가 있는데, 이 칸을 지나면 해당 도둑루피의 크기만큼 소지금을 잃게 된다. 링크는 잃는 금액을 최소로 하여 동굴 건너편까지 이동해야 하며, 한 번에 상하좌우 인접한 곳으로 1칸씩 이동할 수 있다.
링크가 잃을 수밖에 없는 최소 금액은 얼마일까?
입력
입력은 여러 개의 테스트 케이스로 이루어져 있다.
각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 동굴의 크기를 나타내는 정수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 125) N = 0인 입력이 주어지면 전체 입력이 종료된다.
이어서 N개의 줄에 걸쳐 동굴의 각 칸에 있는 도둑루피의 크기가 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다. 도둑루피의 크기가 k면 이 칸을 지나면 k루피를 잃는다는 뜻이다. 여기서 주어지는 모든 정수는 0 이상 9 이하인 한 자리 수다.
출력
각 테스트 케이스마다 한 줄에 걸쳐 정답을 형식에 맞춰서 출력한다. 형식은 예제 출력을 참고하시오.
예제 입력 1
3
5 5 4
3 9 1
3 2 7
5
3 7 2 0 1
2 8 0 9 1
1 2 1 8 1
9 8 9 2 0
3 6 5 1 5
7
9 0 5 1 1 5 3
4 1 2 1 6 5 3
0 7 6 1 6 8 5
1 1 7 8 3 2 3
9 4 0 7 6 4 1
5 8 3 2 4 8 3
7 4 8 4 8 3 4
0
예제 출력 1
Problem 1: 20
Problem 2: 19
Problem 3: 36
풀이 아이디어
이 문제는 양의 가중치만이 존재하는 그래프에서 최단거리를 찾는 문제로 전형적인 다익스트라 문제이다. 양의 가중치가 동굴의 각 칸마다 다르기 때문에 BFS는 사용할 수 없고 출발점과 도착점이 고정된 문제로 한 쌍의 최단거리만 필요해 플로이드 워셜 또한 적절하지 않다. (플로이드 워셜은 모든 노드 쌍 간 최단 거리를 한 번에 계산하는 알고리즘이다. )
만약 이 문제를 BFS 알고리즘으로 접근한다면 풀 수 있을까? BFS는 간선의 가중치가 모두 동일하다고 가정하고 너비 우선으로 탐색한다. 그렇기 때문에 BFS는 간선의 개수가 가장 적은 경로를 찾는 데에는 적합하지만 가중치 합이 가장 적은 경로를 찾는 데에는 부적합하다. 따라서 이 문제를 BFS 알고리즘으로 푼다면 처음에 도착한 경로의 가중치 합을 최적 경로 가중치 합으로 간주하기 때문에 부적합하다. BFS로 이 문제를 풀어봤기 때문에 하는 말입니다..
구현 방식
아래와 같이 우선순위 큐를 사용해서 시간복잡도를 O(V^2)에서 O(ElogV)로 낮춘 다익스트라 알고리즘을 구현하였다. 매우 전형적인 알고리즘이라서 특별하게 알아두어야 할 부분은 없으나 자바에서의 우선순위 큐 구현 방법을 짚고 넘어가야 할 것 같다.
자바에서 우선순위 큐의 정렬 방식은 크게 2가지 방식으로 정의하며 Comparable 인터페이스를 구현하거나 Comparator을 전달하는 방식으로 구현할 수 있다. 아래 코드에서는 Node 클래스가 Comparable 인터페이스를 구현하도록 하여 compareTo 메소드를 구현하였다. 현재 비용이 새로 들어온 것의 비용보다 크다면 (this.cost - other.cost)가 양수일 것이므로 other 객체의 우선순위가 더 높고 반대이면 this 객체의 우선순위가 더 높을 것이다. 이는 cost가 더 작은 객체가 우선순위 큐의 가장 앞 부분에 위치하도록 하는 최소 힙을 구현하는 전형적인 방식이다. 그러나 Lambda 함수를 사용해 아래처럼 한 줄로 최소 힙을 구현할 수도 있다. 이 때에는 우선순위 큐 생성 시점에 비교하는 방식을 설명한 Comparator를 직접 넘겨주기 때문에 Node 클래스가 Comparable을 implements할 필요가 없다.
PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>((o1,o2) -> o1.cost - o2.cost); 풀이 코드
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main_1206 {
public static int [] dx = {0,0,-1,1}, dy = {1,-1,0,0};
public static class Node implements Comparable<Node>{
int cost;
int x,y;
public Node(int cost,int x, int y){
this.cost = cost;
this.x = x;
this.y = y;
}
@Override
public int compareTo(Node other) {
return this.cost - other.cost;
}
}
public static int dijkstra(int N, int[][] arr) {
// 방문 처리 배열
boolean[][] v = new boolean [N][N];
// 우선순위 큐
PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
pq.offer(new Node(arr[0][0],0,0));
// 최단거리 기록 배열
int[][] dist = new int[N][N];
for(int i=0;i<N;i++) {
Arrays.fill(dist[i], Integer.MAX_VALUE);}
dist[0][0] = arr[0][0];
// 0,0 -> N-1, N-1
while(!pq.isEmpty()) {
Node curr = pq.poll();
if(v[curr.x][curr.y]) {continue;}
// 인접 노드 방문
v[curr.x][curr.y] = true;
for(int i=0;i<4;i++) {
int nx = curr.x + dx[i], ny = curr.y + dy[i];
// 범위 체크 + 거리 기준 방문 필요 여부 체크
if((0<=nx && nx<=N-1 && 0<=ny && ny<=N-1) && (dist[nx][ny]>curr.cost + arr[nx][ny])) {
pq.offer(new Node(curr.cost + arr[nx][ny],nx,ny));
dist[nx][ny] = curr.cost + arr[nx][ny];
}
}
}
return dist[N-1][N-1];
}
public static void main(String[] args) throws Exception{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringTokenizer st;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int t = 0;
while(true) {
int N = Integer.parseInt(br.readLine());
if(N==0) {break;}
t++;
int[][] arr = new int[N][N];
for(int i=0;i<N;i++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
for(int j=0;j<N;j++) {
arr[i][j] = Integer.parseInt(st.nextToken());
}
}
int answer = dijkstra(N,arr);
sb.append("Problem ").append(t).append(": ").append(answer).append("\n");
}
br.close();
System.out.println(sb.toString());
}
}
