[알고리즘] 플로이드 워셜 알고리즘 (Floyd-Warshall Algorithm)

kimdukbae·2021년 4월 21일
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Algorithm

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플로이드 워셜 알고리즘 (Floyd-Warshall Algorithm)이란?

지난 포스팅에서는 다익스트라 알고리즘에 대해 작성했었다. 다익스트라의 경우 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. 그러나 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우에는 어떻게 해야할까?

바로 플로이드 워셜 알고리즘을 사용하면 된다. 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 알고리즘이다. 아래 정리한 내용을 살펴보면 이해하는데 도움이 될 것이다.

  • '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘

  • 소스코드가 다익스트라에 비해 매우 짧아 구현이 쉽다.

  • 다익스트라의 경우 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 이후 해당 노드를 거쳐가는 경로를 확인하며 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다.
    <--> 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만, 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다!

  • 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다. (모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 거리를 저장해야 하기 때문이다.)
    <--> 다익스트라는 한 지점에서 다른 지점까지의 최단 거리이기 때문에 1차원 리스트에 저장한다.

  • 플로이드 워셜 알고리즘은 DP 알고리즘에 속한다. 왜냐하면 만약 노드의 개수가 N개라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 DP라고 볼 수 있다.
    <--> 다익스트라는 그리디 알고리즘에 속한다고 볼 수 있다.

플로이드 워셜 알고리즘의 점화식은 아래와 같다.


플로이드 워셜 알고리즘 그림으로 보기

[step 0] 그래프의 노드와 간선에 따라 최단 거리 테이블을 갱신한다.


[step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.


[step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.


[step ~] 3번, 4번, ... 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.



플로이드 워셜 알고리즘 코드 (Python)

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수(n)과 간선의 개수(m) 입력
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트 (그래프 표현) 만들고, 무한대로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A -> B로 가는 비용을 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print('INFINITY', end=' ')
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()

# sample input
# 4
# 7
# 1 2 4
# 1 4 6
# 2 1 3
# 2 3 7
# 3 1 5
# 3 4 4
# 4 3 2
  • 시간 복잡도는 O(N^3)
    노드의 개수가 N개 일 때, N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로'를 고려한다. 따라서 시간 복잡도는 총 O(N^3)이다.

사진 출처 : https://freedeveloper.tistory.com/277?category=888096

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Computer Science!!

2개의 댓글

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2022년 7월 1일

해당 포스트 링크 퍼갈게요!

1개의 답글