https://www.acmicpc.net/problem/17103
문제
골드바흐의 추측: 2보다 큰 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
짝수 N을 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 골드바흐 파티션이라고 한다. 짝수 N이 주어졌을 때, 골드바흐 파티션의 개수를 구해보자. 두 소수의 순서만 다른 것은 같은 파티션이다.
입력
첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T (1 ≤ T ≤ 100)가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 N은 짝수이고, 2 < N ≤ 1,000,000을 만족한다.
풀이과정
지금껏 풀어왔던 문제처럼 정수 N의 범위는 3부터 1,000,000이므로 1,000,000까지의 소수를 구했다.
문제는 지금부터인데, 결론적으로 나는 두 번의 삽질을 했다;;
처음에 좀 깊이 생각했어야했는데 멍청한 나는 소수 2부터 N까지의 모든 소수 합의 경우의 수를 구하는 로직을 짜버렸다.
public class Main{
// 소수 구하는 메서드
public static boolean isPrime(int N){
if( 2 > N ) return false;
for( int i = 2; i*i <= N; i++ ){
if( N % i == 0) return false;
}
return true;
}
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int T = Integer.parseInt(br.readLine());
List<Integer> list = new ArrayList<>();
int prime = 2;
// N 제한은 1000000이므로
while ( 1000000 >= prime ){
if(isPrime(prime)) {
list.add(prime);
}
prime++;
}
for( int z = 0; z < T; z++ ) {
int N = Integer.parseInt(br.readLine());
boolean isGold = true;
int count = 0;
for (int i = 0; list.get(i) < N; i++) {
for (int j = 0; list.get(j) < N; j++) {
int iValue = list.get(i);
int jValue = list.get(j);
// iValue + jValue == N을 만족한다면
// 골드바흐 파티션 개수 1증가
if( iValue + jValue == N ){
count++; break;
// 둘의 합이 N보다 크면 다음 루프 실행
}else if( iValue + jValue > N){
break;
}
}
}
sb.append(count % 2 == 0 ? count / 2 : count / 2 +1).append("\n");
}
System.out.println(sb);
}
}위처럼 log(N²)이 걸려버리는 풀이를 제출하면 바로 1%에서 시간초과로 나락가버린다. 그래도 아무 생각없이 푼 것 치고는 꽤나 큰 실마리를 생각해냈다.
바로 sb.append(count % 2 == 0 ? count / 2 : count / 2 +1).append("\n"); 구문인데, 어차피 N을 만들 수 있는 두 소수의 합은 N/2까지의 두 소수 합 개수와 같다. 나 스스로 이해하기 편하게 메모장에 적어보았다.
모든 계산이 위 이미지처럼 진행됐을 때 반복문은 N/2까지만 계산하면 된다. 아래 반복문 코드는 위 이미지를 토대로 작성한 코드이다.
for( int j = startIndex; j >= 0; j--){
int selectPrime = primes[j];
boolean isFinished = false;
for( int z = 0; z <= startIndex; z++ ){
// z번째 소수
int iPrime = primes[z];
// 선택소수와 z번째 소수 합이 N과 같다면 ++
if( selectPrime + iPrime == N) {
goldCount++;
break;
}
// 선택 소수와 z번째 인덱스 합이 N보다 크면 다음 루프
else if( selectPrime + iPrime > N )
break;
// z가 j보다 크거나 같다면 더 나올 경우의 수는 없으므로 루프 종료
else if( z >= j ) {
isFinished = true;
break;
}
}
if( isFinished )
break;
}
sb.append(goldCount).append("\n");아쉽지만 이것이 두 번째 삽질이다. 위 이미지처럼 동작하게 풀이를 제출하였지만 또 시간 초과가 발생했기 때문이다.
그래도 첫 번째 시도에서는 1%에서 광탈했지만 두 번째 시도에선 99%까지 올렸다!
조금 더 깔끔하고 효율적으로 작성해보자.
엄청난 삽질의 시간이 지난 후에 결국 깔끔한 풀이를 제출했다. 이렇게 쉬운 풀이가 있는데 왜 두번이나 삽질을 했던 것일까..
import java.io.*;
public class Main{
// 소수 판별 메서드
public static boolean isPrime(int N){
if( 2 > N ) return false;
for( int i = 2; i*i <= N; i++ ){
if( N % i == 0) return false;
}
return true;
}
public static void main(String[] args) throws Exception{
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
StringBuilder sb = new StringBuilder();
int T = Integer.parseInt(br.readLine());
// 입력 제한 2 < N ≤ 1,000,000
boolean[] primes = new boolean[1000001];
int count = 2;
while( 1000000 >= count ){
if( isPrime(count) ){
primes[count] = true;
}
count++;
}
for( int i = 0; i < T; i++ ){
int N = Integer.parseInt(br.readLine());
int startPrime = N-1;
int goldCount = 0;
// N-1부터 N/2까지
for( int j = startPrime; j >= N/2; j-- ){
// 소수일 경우
if( primes[j] ) {
// N - j 또한 소수라면
// 골드바흐 파티션 ++
if (primes[N - j]) {
goldCount++;
}
}
}
sb.append(goldCount).append("\n");
}
System.out.println(sb);
}
}경우의 수를 구할 필요없이 N을 소수로 뺄셈을 했을 때의 나머지가 소수라면 골드바흐 파티션을 만족하는 식이 된다.
결론은 N-1부터 N/2까지 N을 소수로 뺀 나머지가 소수일 때 골드바흐 파티션 카운트를 1 상승시킨다.
