💯스탠다드1반 복습 노트(3)

현실 세계 vs. 가상 세계의 차이 (TIL)

✅ 공간 개념
현실 세계: 3차원 공간으로, 물리 법칙을 따름.
가상 세계: 수학적 시스템(벡터 공간, 선형 변환)으로 구성됨.
✅ 벡터(Vector)와 스칼라(Scalar)
벡터: 크기 + 방향 (예: 위치, 속도, 힘) → $\mathbf{v} = (x, y, z)$
스칼라: 크기만 존재 (예: 질량, 온도, 에너지)
✅ 벡터 공간(Vector Space)
벡터들의 연산이 가능한 공간.
게임에서 캐릭터 이동, 회전, 카메라 변환 등에 활용.

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🛠 선형 변환 (Linear Transformation)
객체의 이동, 회전, 크기 변환을 수학적으로 처리하는 방식.
선형 변환의 성질
덧셈 보존: $T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w})$
스칼라 곱 보존: $T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v})$

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📌 이동 변환 (Translation)
객체를 특정 방향으로 이동하는 변환.
수식: $(x', y') = (x + dx, y + dy)$

✔ 이동 변환 행렬 (3×3)

$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = T \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

✔ 계산 과정

$x' = x + dx$
$y' = y + dy$

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🤔 왜 3×3 행렬을 사용할까?
행렬 연산에서는 덧셈을 직접 표현할 수 없음.
해결책 → 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates) 사용
기존 좌표 $(x, y)$ → $(x, y, 1)$로 확장.
이동 변환을 포함한 모든 변환을 3×3 행렬 연산으로 처리 가능.
✔ 핵심 정리:
💡 3×3 행렬을 사용하면 이동, 회전, 크기 변환을 하나의 행렬로 통합하여 쉽게 계산 가능! 🚀

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삼각함수와 단위 원

삼각비를 보다 직관적으로 이해하기 위해, 반지름이 1인 단위 원(Unit Circle)을 사용합니다.

단위 원의 방정식은 다음과 같습니다.

$x2+y2=1$

해당 방정식을 기준으로 반지름이 1인 원에서 임의의 점 $(x, y)$는 $x=cosθ$, $y=sinθ$ 로 나타낼 수 있습니다.

즉, 각도를 기준으로 하면 $cosθ$은 $x$좌표, $sinθ$은 $y$좌표와 동일합니다.

삼각함수의 주요 공식

$\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = 1$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$

$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

원의 반지름과 좌표 계산

반지름 r인 원에서 점의 좌표는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$(x,y)=(rcosθ,rsinθ)$

이는 삼각비가 벡터와 연결될 수 있음을 의미합니다.

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각도법(Degree)

각도법은 원을 360개의 동일한 부분으로 나누고, 이를 기준으로 각을 측정하는 방식입니다. 각의 단위로 $°$(degree, 도)를 사용합니다.

호도법(Radian)

각도법을 사용할 때, 원과 관련된 수학적 계산이 불편한 경우가 많습니다.

그래서 원을 기반으로 한 새로운 단위를 정의하여 수학을 전개하는 것이 일반적입니다.

이 때, 원의 반지름 길이와 같은 원호의 길이가 만드는 각을 1 rad라고 정의하는 것을 호도법(Radian, 래디안)이라고 부릅니다.

각도법과 호도법의 관계

원의 반지름과 같은 원호의 길이가 만드는 각을 기준으로 하면, 반원의 길이$(π rad)$는 $180°$에 해당합니다.

이를 통해 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있습니다.

$180°=π(rad)$

$1° = \frac{\pi}{180} \text{(rad)}$

$1(rad)=π180​°$