문제

행렬의 곱셈

문제 설명

2차원 행렬 arr1과 arr2를 입력받아, arr1에 arr2를 곱한 결과를 반환하는 함수, solution을 완성해주세요.

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제한사항

• 행렬 arr1, arr2의 행과 열의 길이는 2 이상 100 이하입니다.
• 행렬 arr1, arr2의 원소는 -10 이상 20 이하인 자연수입니다.
• 곱할 수 있는 배열만 주어집니다.

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입출력 예시

arr1	arr2	return
[[1, 4], [3, 2], [4, 1]]	[[3, 3], [3, 3]]	[[15, 15], [15, 15], [15, 15]]
[[2, 3, 2], [4, 2, 4], [3, 1, 4]]	[[5, 4, 3], [2, 4, 1], [3, 1, 1]]	[[22, 22, 11], [36, 28, 18], [29, 20, 14]]

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문제 풀이

arr1 ($3 \times 2$)

$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

arr2 ($2 \times 2$)

$\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$

arr3 ($3 \times 2$)

arr2의 열의 크기를 $N$이라고 하면 arr3의 각 값은 다음과 같이 표현할 수 있다.

N은 아래에서 arr2의 열의 크기에서 arr1의 열의 크기로 변경하였음.

$arr3[i][j] = \sum_{k=0}^{N-1} (arr1[i][k] \times arr2[k][j])$

$arr3[0][0] = \sum_{k=0}^{3-1=2} (arr1[0][k] \times arr2[k][0])$
$arr3[0][1] = \sum_{k=0}^{2} (arr1[0][k] \times arr2[k][1])$

def solution(arr1, arr2):
    arr3_row_size = len(arr1)
    arr3_col_size = len(arr2[0])

    answer = [[0] * arr3_col_size for _ in range(arr3_row_size)]

    for i in range(arr3_row_size):
        for j in range(arr3_col_size):
            for k in range(arr3_col_size):
                answer[i][j] += arr1[i][k] * arr2[k][j]
    return answer

실패했다..

찾아보니.. k가 arr3_col_size가 아니었던 것임..

생각해보면 arr3의 사이즈는 arr1의 행 사이즈 $\times$ arr2의 열 사이즈가 되는거고
arr1의 열 사이즈와 arr2의 행 사이즈가 같아야 곱하고 더할 수 있는 것이었다.

따라서 $N$은 arr1의 열 사이즈임.

최종적으로 arr3[i][j]는 다음과 같이 수식화 할 수 있다.

$arr3[i][j] = \sum_{k=0}^{N-1} arr1[i][k] \times arr2[k][j]$

최종 풀이 코드

def solution(arr1, arr2):
    arr3_row_size = len(arr1)
    arr3_col_size = len(arr2[0])
    common_size = len(arr1[0])

    answer = [[0] * arr3_col_size for _ in range(arr3_row_size)]

    for i in range(arr3_row_size):
        for j in range(arr3_col_size):
            for k in range(common_size):
                answer[i][j] += arr1[i][k] * arr2[k][j]
    return answer

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느낀점

행렬의 곱셈 구하는 방법

행렬의 곱셈은 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야만 곱할 수 있다.

• 행렬 $A$의 크기가 $M \times K$이고, 행렬 $B$의 크기가 $K \times N$일 때,
• 두 행렬을 곱한 결과인 행렬 $C$의 크기는 $M \times N$이 된다.

결과 행렬 $C$의 $i$행 $j$열에 들어갈 값은, 행렬 $A$의 $i$번째 행과 행렬 $B$의 $j$번째 열을 순서대로 곱한 뒤 모두 더한 값이다.

예시

행렬 $A$ ($2 \times 3$)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

행렬 $B$ ($3 \times 2$)

$\begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}$

• 행렬 $C$의 1행 1열 계산
  • 행렬 $A$의 $1$행 [1, 2, 3]과 행렬 $B$의 $1$열 [7, 9, 11]을 순서대로 곱해서 더한다.
    • $(1 \times 7) + (2 \times 9) + (3 \times 11)$
      • $= 7 + 18 + 33$
      • $= 58$
• 행렬 $C$의 1행 2열 계산
  • 행렬 $A$의 $1$행 [1, 2, 3]과 행렬 $B$의 $2$열 [8, 10, 12]을 순서대로 곱해서 더한다.
    • $(1 \times 8) + (2 \times 10) + (3 \times 12)$
      • $= 8 + 20 + 36$
      • $= 64$
• 행렬 $C$의 2행 1열 계산
  • 행렬 $A$의 $2$행 [4, 5, 6]과 행렬 $B$의 $1$열 [7, 9, 11]을 순서대로 곱해서 더한다.
    • $(4 \times 7) + (5 \times 9) + (6 \times 11)$
      • $= 28 + 45 + 66$
      • $= 139$
• 행렬 $C$의 2행 2열 계산
  • 행렬 $A$의 $2$행 [4, 5, 6]과 행렬 $B$의 $2$열 [8, 10, 12]을 순서대로 곱해서 더한다.
    • $(4 \times 8) + (5 \times 10) + (6 \times 12)$
      • $= 32 + 50 + 72$
      • $= 154$

최종 행렬 $C$ ($2 \times 2$)

$\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$