다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

Kyunghwan Ko·2021년 10월 26일

알고리즘

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알고리즘은 공부하다가 분할 정복알고리즘 이후 훨씬 효율적인 알고리즘인 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 방법이 있다고 해서 궁금해서 공부해보았습니다.

※ 본 교안은 "이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬"을 참고하여 제작되었음을 알립니다

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법입니다.
이미 계산된 결과(작은 문제=sub problem)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 합니다.
다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑 다운과 바텀 업)으로 구성됩니다.

다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부릅니다.
일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까요?
- 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한
  메모리를 할당하는 기법'을 의미합니다
- 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어입니다.
다이나믹 프로그래밍은 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있습니다.
1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
  - 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있습니다.
2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
  - 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 합니다.

피보나치 수열

피보나치 수열 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있습니다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미합니다.
피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같습니다.

피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- 프로그래밍에서는 이러한 수열(Sequence)을 배열(Array)이나 리스트(List)를 이용해 표현합니다.

피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- 𝑛번째 피보나치 수를 f(𝑛)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

피보나치 수열: 단순 재귀 소스코드

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

실행 결과

피보나치 수열의 시간 복잡도 분석

단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도(=O(2^n))를 가지게 됩니다.
다음과 같이 𝒇(2) 가 여러 번 호출되는 것을 확인할 수 있습니다. (중복되는 부분 문제)

피보나치 수열의 시간 복잡도는 다음과 같습니다.
- O(2ᴺ)
빅오(Big-O) 표기법을 기준으로 𝒇(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 합니다.
그렇다면 𝒇(100)을 계산하기 위해 얼마나 많은 연산을 수행해야 할까요?

피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인합니다.
1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있습니다.
2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결합니다.
피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족합니다.

메모이제이션 (Memoization)

메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나입니다.(탑 다운 방식에서 사용됨)
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법입니다.
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옵니다.
- 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching) 이라고도 합니다.

탑 다운 VS 바텀 업

탑 다운(메모이제이션, 구현 과정에서 재귀함수 사용) 방식은 하향식이라고도 하며 바텀 업(반복문 사용) 방식은 상향식이라고도 합니다.
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 바텀 업 방식입니다.
- 결과 저장용 배열(Array) 혹은 리스트(List)는 DP 테이블이라고 부릅니다.
엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미합니다.
- 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아닙니다.
- 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있습니다.

피보나치 수열: 탑 다운-다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100 # 99번째 피보나치 수를 구하기 위해 0~99인덱스를 가지는 리스트로 초기화

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑 다운-다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    # 바닥 조건 혹은 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

실행 결과

218922995834555169026

피보나치 수열: 바텀 업-다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(바텀 업-다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]

print(d[n])

실행 결과

218922995834555169026

피보나치 수열: 메모이제이션 동작 분석

이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있습니다.

실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해 보면 다음과 같이 방문합니다.

메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N) 이다

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑 다운-다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    print('f(' + str(x) + ')', end=' ')
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

fibo(6)

실행 결과

f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있습니다.
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복입니다.
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됩니다.
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않습니다.
분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬을 살펴봅시다.
- 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않습니다.
- 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않습니다.

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요합니다.
가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있습니다.
- 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 봅시다.
일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑 다운) 작은 문제에서 구한 답이
큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법(메모이제이션 기법을 추가하는 등)을 사용할 수 있습니다.
일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많습니다.

<문제1> 개미 전사

문제 설명

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있습니다.
각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정입니다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가공격받으면 바로 알아챌 수 있습니다.
따라서 개미 전사가 정찰병에 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진식량창고를 약탈해야 합니다.

예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정합시다.

이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있습니다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원합니다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하세요.

문제 조건

수행시간: 1초

입력 조건:

첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어집니다. (3 <= N <= 100)
둘째 줄에 공백을 기준으로 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어집니다. (0 <= K <= 1,000)

출력 조건:

첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하세요.

입력 예시:

4
1 3 1 5

출력 예시:

문제 해결 아이디어

예시를 확인해 봅시다. N = 4일 때, 다음과 같은 경우들이 존재할 수 있습니다.
- 식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 다음과 같이 8가지입니다.
7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8입니다.

𝒂ᵢ = 𝑖번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
- 이렇게 정의한다면 다이나믹 프로그래밍(DP)을 적용할 수 있습니다.

⭐왼쪽부터 차례대로 식량창고를 턴다고 했을 때, 특정한 𝑖번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 됩니다.(𝑖 - 3은 고려x)

(=> 현재 위치까지 얻을 수 있는 식량의 최댓값)

𝒂ᵢ = 𝑖번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
𝑘ᵢ = 𝑖번째 식량창고에 있는 식량의 양
⭐점화식은 다음과 같다

한 칸 이상 떨어진 식량창고는 항상 털 수 있으므로 (𝑖 - 3)번째 이하는 고려할 필요가 없다

답안

# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100 # N <= 100 이므로 d.length() = 100으로 설정

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (바텀 업, 반복문 사용)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1]) # 이웃한 식량창고는 털 수 없으므로
for i in range(2, n):
    d[i] = max(d[i - 1], d[i - 2] + array[i]) # 점화식 그대로 사용

# 계산된 결과 출력
print(d[n - 1])

<문제2> 1로 만들기

문제 설명

정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지 입니다.
1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눕니다.
2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눕니다.
3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눕니다.
4. X에서 1을 뺍니다.
정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 한다. 연산을 사용하는 횟수의

최솟값을 출력하세요. 예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산(4 -> 1 -> 1)이 최솟값입니다.
- 26 → 25 → 5 → 1

문제 조건

수행 시간: 1초

입력 조건:

첫째 줄에 정수 X가 주어집니다. (1 <= X <= 30,000)

출력 조건:

첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력합니다.

입력 예시:

출력 예시:

문제 해결 아이디어

피보나치 수열 문제를 도식화한 것처럼 함수가 호출되는 과정을 그림으로 그려보면 다음과 같습니다.
- 최적 부분 구조(DP의 1조건)와 중복되는 부분 문제(DP의 2조건)를 만족합니다.
  - 최적 부분 구조: 작은 문제의 답을 조합해서 큰 문제의 답을 찾을 수 있다.
  - 중복되는 부분 문제: 작은 문제가 중복, 반복되게 사용된다.

f(5)는 f(6)에서 1을 뺀 최적의 해(4번 연산)
f(3)은 f(6)에서 2로 나눈 최적의 해(3번 연산)
f(2)는 f(6)에서 3으로 나눈 최적의 해(2번 연산)
위 세가지 경우 중 가장 작은 값을 가지는 경우를 구해서 f(6)일 때의 최적의 해를 구할 수 있습니다.(6은 5로 나누어 떨어지지 않기 때문에 1번 연산 수행x)
앞선 그리디 알고리즘에서 "1이 될 때까지" 문제와 비슷하지만 다른 문제이다.
- 그리디 - "1이 될 때까지"는 0과 1일 때를 제외한 나머지 값일 경우 해당 값을 1을 빼는 것보다 무조건 나누는 것이 효율적이었습니다.
- 하지만 본 문제(다이나믹 프로그래밍 - "1로 만들기")에서는 무조건 나누는 연산만 하기 보단 다른 연산을 적절히 조합해야하므로 고려해야할 경우가 더 많아 졌습니다.

𝒂ᵢ = 𝑖를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수
⭐점화식은 다음과 같다

단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수(ex. 2, 3, 5)로 나누어떨어질 때에 한해 점화식을 적용할 수 있다

답안

# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001 # X<= 30000 이므로
'''1일 경우 이미 자신의 값이 1이므로 연산 횟수 0이라고 할 수 있습니다.'''

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(바텀 업, 반복문 사용)
for i in range(2, x + 1):
    '''각 경우마다 연산을 한 번씩 수행한 것이므로 +1을 해준다.'''
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i - 1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)

print(d[x])

<문제3> 효율적인 화폐 구성

문제 설명

N가지 종류의 화폐가 있습니다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 합니다. 이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있습니다.
예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수입니다.
M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하세요.

문제 조건

수행 시간: 1초

입력 조건:

첫째 줄에 N, M이 주어진다. (1 <= N <= 100, 1 <= M <= 10,000)
이후의 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐의 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수 이다.

출력 조건:

첫째 줄에 최소 화폐의 개수를 출력한다.
불가능할 때는 -1을 출력한다.

입력 예시1:

2 15
2
3

출력 예시1:

입력 예시2:

출력 예시2:

-1

문제 해결 아이디어

𝒂ᵢ = 금액 𝑖를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
𝑘 = 각 화폐의 단위
⭐점화식: 각 화폐 단위인 𝑘를 하나씩 확인하며 (이중 for문 사용)
- 𝒂ᵢ₋ₖ를 만드는 방법이 존재하는 경우, 𝒂ᵢ = min(𝒂ᵢ, 𝒂ᵢ₋ₖ + 1)
- 𝒂ᵢ₋ₖ를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, 𝒂ᵢ = INF

𝑁 = 3, 𝑀 = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인해 봅시다.

[Step 0 (초기화)]
- 먼저 각 인덱스에 해당하는 값을 INF(무한)의 값을 설정합니다.
- INF은 특정 금액을 만들 수 있는 화폐 구성이 가능하지 않다는 의미를 가집니다.
- 본 문제에서는 10,001을 사용할 수 있습니다.

𝑁 = 3, 𝑀 = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인해 봅시다.
𝒂ᵢ₋ₖ를 만드는 방법이 존재하는 경우, 𝒂ᵢ = min(𝒂ᵢ, 𝒂ᵢ₋ₖ + 1)

[Step 1]
- 첫 번째 화폐 단위인 2를 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신됩니다.

𝑁 = 3, 𝑀 = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인해 봅시다.
𝒂ᵢ₋ₖ를 만드는 방법이 존재하는 경우, 𝒂ᵢ = min(𝒂ᵢ, 𝒂ᵢ₋ₖ + 1)

[Step 2]
- 두 번째 화폐 단위인 3을 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신됩니다.

𝑁 = 3, 𝑀 = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인해 봅시다.
𝒂ᵢ₋ₖ를 만드는 방법이 존재하는 경우, 𝒂ᵢ = min(𝒂ᵢ, 𝒂ᵢ₋ₖ + 1)

[Step 3]
- 세 번째 화폐 단위인 5를 확인합니다.
- 점화식에 따라서 다음과 같이 최종적으로 리스트가 갱신됩니다.

답안

# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력 받기
array = []
for i in range(n):
    array.append(int(input()))

# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1) # 0원 부터 m원 까지 각 금액에 대한 최소한의 화폐개수를 구해서 저장할 것이므로
'''java에선 Arrays.fill(d, 10001)로 값 초기화 가능'''
# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(바텀 업, 반복문 사용)
d[0] = 0
for k in range(n): # k는 각 화폐 단위를 의미
    for i in range(array[k], m + 1): # i는 각 금액을 의미
        if d[i - array[k]] != 10001: # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
            '''현재금액 - 현재 확인하고있는 화폐 단위의 금액'''
            d[i] = min(d[i], d[i - array[k]] + 1)
            '''java에선 Math.min()으로 가능'''

# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
    print(-1)
else:
    print(d[m])

<문제4> 금광

문제 설명

n × m 크기의 금광이 있다. 금광은 1 × 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의
금이 들어 있습니다.
채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작한다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있습니다.
이후에 m - 1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 합니다.
결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하세요.

문제 조건

수행 시간: 1초

입력 조건:

첫째 줄에 테스트 케이스 T가 입력됩니다. (1 <= T <= 1000)
매 테스트 케이스 첫째 줄에 n과 m이 공백으로 구분되어 입력됩니다. (1 <= n, m <= 20) 둘째 줄에 n x m개의 위치에 매장된 금의 개수가 공백으로 구분되어 입력됩니다. (1 <= 각 위치에 매장된 금의 개수 <= 100)

출력 조건:

테스트 케이스마다 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력합니다. 각 테스트 케이스는 줄 바꿈을 이용해 구분합니다.

입력 예시:

2
3 4
1 3 3 2 2 1 4 1 0 6 4 7
4 4
1 3 1 5 2 2 4 1 5 0 2 3 0 6 1 2

출력 예시:

19
16

문제 해결 아이디어

금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 됩니다.
1. 왼쪽 위에서 오는 경우
2. 왼쪽 아래에서 오는 경우
3. 왼쪽에서 오는 경우
세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결합니다.

𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚[i][j] = 𝑖행 𝒋열에 존재하는 금의 양
𝒅𝒑[𝑖][𝒋] = 𝑖행 𝒋열까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 금의 최댓값)
⭐점화식은 다음과 같습니다.

이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 합니다.
편의상 초기 데이터를 담는 변수 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚를 사용하지 않아도 됩니다.
- 바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있습니다.

금광 문제를 다이나믹 프로그래밍으로 해결하는 과정을 확인해봅시다.

답안

# 테스트 케이스(Test Case) 입력
for tc in range(int(input())):
    # 금광 정보 입력
    n, m = map(int, input().split())
    array = list(map(int, input().split()))

    # 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
    dp = []
    index = 0
    for i in range(n):
        dp.append(array[index:index + m])
        index += m

    # 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(바텀 업, 반복문 사용)
    for j in range(1, m):
        for i in range(n):
            # 왼쪽 위에서 오는 경우
            if i == 0: # 테이블 범위 벗어나는지 check
                left_up = 0
            else:
                left_up = dp[i - 1][j - 1]
            # 왼쪽 아래에서 오는 경우
            if i == n - 1: # 테이블 범위 벗어나는지 check
                left_down = 0
            else:
                left_down = dp[i + 1][j - 1]
            # 왼쪽에서 오는 경우
            left = dp[i][j - 1]
            dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)

    result = 0
    for i in range(n):
        result = max(result, dp[i][m - 1]) # 가장 오른쪽 열에 있는 값 중 max가 정답

    print(result)

<문제5> 병사 배치하기

문제 설명

N명의 병사가 무작위로 나열되어 있다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있습니다.
병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치를 하고자 합니다. 다시 말해 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 합니다.
또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용합니다. 그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶습니다.

예를 들어, N = 7일 때 나열된 병사들의 전투력이 다음과 같다고 가정합니다.

이때 3번 병사와 6번 병사를 열외시키면, 다음과 같이 남아 있는 병사의 전투력이 내림차순의 형태가 되며 병사의 수는 5명이 된다. 이는 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하는 방법입니다.

병사에 대한 정보가 주어졌을 때, 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력하는 프로그램을 작성하세요.

문제 조건

수행 시간: 1초

입력 조건:

첫째 줄에 N이 주어집니다. (1 <= N <= 2,000)
둘째 줄에 각 병사의 전투력이 공백으로 구분되어 차례대로 주어집니다.
각 병사의 전투력은 10,000,000보다 작거나 같은 자연수입니다.

출력 조건:

첫째 줄에 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력합니다.

입력 예시:

7
15 11 4 8 5 2 4

출력 예시:

문제 해결 아이디어

이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로
알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같습니다.
예를 들어 하나의 수열 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚 = {4, 2, 5, 8, 4, 11, 15}이 있다고 합시다.
- 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4, 5, 8, 11, 15}입니다.
본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답을 도출할 수 있습니다.

가장 긴 증가하는 부분 수열 (LIS) 알고리즘을 확인해 봅시다.
𝐷[𝑖] = 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒚[𝑖]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
점화식은 다음과 같습니다.

DP테이블을 완성한 뒤에 해당 값 중 max가 부분수열의 최대길이 즉, 정답이 됩니다.

가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집습니다.(LIS와 반대이므로)
가장 긴 증가하는 부분 수열 (LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출합니다.

답안

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열(LIS)' 문제로 변환
array.reverse()
'''java에선 Collections.reverse(array)'''

# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n

# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행 -> LIS의 최대 길이를 구함
for i in range(1, n):
    for j in range(0, i):
        if array[j] < array[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp)) # max(dp)는 LIS의 최대 길이이므로

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

알고리즘

인트로

목차

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming)

피보나치 수열

피보나치 수열: 단순 재귀 소스코드

피보나치 수열의 시간 복잡도 분석

피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

메모이제이션 (Memoization)

탑 다운 VS 바텀 업

피보나치 수열: 탑 다운-다이나믹 프로그래밍 소스코드

피보나치 수열: 바텀 업-다이나믹 프로그래밍 소스코드

피보나치 수열: 메모이제이션 동작 분석

다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

<문제1> 개미 전사

문제 설명

문제 조건

문제 해결 아이디어

답안

<문제2> 1로 만들기

문제 설명

문제 조건

문제 해결 아이디어

답안

<문제3> 효율적인 화폐 구성

문제 설명

문제 조건

문제 해결 아이디어

[Step 0 (초기화)]

[Step 1]

[Step 2]

[Step 3]

답안

<문제4> 금광

문제 설명

문제 조건

문제 해결 아이디어

답안

<문제5> 병사 배치하기

문제 설명

문제 조건

문제 해결 아이디어

답안

태그

그리디 알고리즘(Greedy Algorithm, 탐욕법)

분할정복법(Divide and Conquer)

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