※ 본 교안은 "[한빛미디어] 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다"를 참고하였음을 밝힙니다.

인트로

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미합니다.

• 다양한 문제 상황

  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로

• 각 지점은 그래프에서 노드(=도시, 나라)로 표현

• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘 == 다익스트라 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산합니다

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작합니다.

  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않습니다.

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류됩니다.

  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 알고리즘의 동작 과정
  1. 출발 노드 설정
  2. 최단 거리 테이블 초기화(모든 노드로 가는 비용 = inf, 자신으로 가는 비용 = 0)
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
  5. 위 과정에서 3, 4번을 반복

=> 각 노드까지의 최단 거리만 알 수 있게된다. 실제로 최단 경로를 알기위해선 별도의 로직이 필요합니다. 다만 완전한 최단 경로를 출력하라는 형태의 문제는 코딩테스트에서 잘 출제되지 않습니다.

따라서 본 교안에서는 출발노드로 부터 다른 모든 노드까지의 최단 거리 테이블을 구하는 것을 목표로 하겠습니다.

• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있습니다.
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신합니다.

아래 그림에서 맨 처음에는 "A를 가는 최단 경로는 8이 겠네!"라고 할 수 있지만 다익스트라 알고리즘을 거치면서 아래와 같이 바뀝니다.(최단 거리 테이블 갱신)

다익스트라 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

=> 2번 노드로 갈때 현재값(=inf) > 0+2 이므로 2로 갱신합니다(True)

시작노드(1번 노드)에서 다른 노드로 갈떄 최소값

즉, 1번 노드에서 다른 노드로 갈때의 값 들 중에서 최소값(4번 노드로 가고, 거리 1)은 절대 바뀌지 않습니다. => 그리디 알고리즘인 이유

• 2, 5 노드 중 앞에 것을 먼저 선택(순서는 상관x)

시작노드(1번 노드)에서 3번 노드까지 갈때 2번 노드를 거쳐가는 경우이므로

기존에 시작노드에서 3번 노드로 가는 최소 거리는 1--(1)--> 4 ---(3)--->3 (4)이므로

1 ---(2)-----> 2 ---(3)---> 3 (5)와 비교했을 때 기존의 1->4->3 경로가 더 최소이므로 갱신x(False)

다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘: 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복합니다.
• 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않습니다.
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있습니다.
• 다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장됩니다.
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 합니다.

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)합니다.

import sys
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기 
n, m = map(int, input().split())
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for _ in range(n+1)] #0번은 취급하지 않기위해 n+1길이만큼 생성 -> 노드연결정보
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False]*(n + 1)

# 최단거리테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1) # 최단거리테이블

#모든 간성정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c)) #a에서부터 b까지 가는 거리가 c다
    # a ----(c)-----> b
    
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
          	index = i
    return index # 방문하지 않은 노드중 최단 거리값이 짧은 노드의 인덱스 반환

# 다익스트라 알고리즘 - 방문처리여부를 확인 필요X
def dijkstra(start):
    # 시작노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i inr range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 호출
dijkstra(start)

# 다익스트라 수행후 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(inf)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('inf')
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 간단한 구현 방법 성능 분석

• 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 합니다.
• 따라서 전체 시간 복잡도는 O(V^2)입니다.
• 일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 위 코드로도 문제를 해결할 수 있습니다. (파이썬은 1초에 약 2천만번 연산 수행가능)
  • 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까요?

우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조입니다.

힙(heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나입니다.
• 최소 힙(min Heap, 값이 작은 것부터 꺼냄)과 최대 힙(max Heap, 값이 큰 것부터 꺼냄)이 있습니다.
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용됩니다.

우선순위 큐 구현방식	삽입 시간	삭제시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(heap)	O(logN)	O(logN)

힙 라이브러리 사용 예제: 최소 힙

import heapq

# 오름차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(A):
    h = []
    resutl = []
    #모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in A:
        heapq.heappush(h, value)
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차레대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

최대 힙

import heapq

# 내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(A):
    h = []
    resutl = []
    #모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
    for value in A:
        heapq.heappush(h, -value)
    #힙에 삽입된 모든 원소를 차레대로 꺼내어 담기
    for i in range(len(h)):
        result.append(-heapq.heappop(h))
    return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result) # [9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(heap)자료구조(min Heap)를 이용합니다.
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일합니다.
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다릅니다.
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용합니다.

다익스트라 알고리즘: 동작 과정 살펴보기(우선순위 큐)

실제로는 우선순위 큐의 경우 트리 구조이지만 편의상 선형적으로 표현

튜플 형태로 넣을때 앞의 원소(거리)를 기준으로 정렬합니다.

다익스트라 알고리즘: 개선된 구현 방법

import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기 
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for _ in range(n+1)] #0번은 취급하지 않기위해 n+1길이만큼 생성 -> 노드연결정보
'''
heappop -> 방문처리 필요x + 최소 거리를 가진 노드의 인덱스 반환 필요x
'''
# 최단거리테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1) # 최단거리테이블

#모든 간성정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b,c)) #a에서부터 b까지 가는 거리가 c다
    # a -------(c)----------> b

# 다익스트라 알고리즘 - 방문처리여부를 확인 필요X
def dijkstra(start):
    q = []
    
	#시작 노드로 가기위한 최단경로는 0으로 설정하고 (우선순위)큐에 삽입
    heapq.heappush(q,(0, start)) 
    distance[start] = 0

	# 큐가 비어있지 않다면
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q) # 거리가 가장 짧은 노드를 큐에서 꺼낸다.
        # 현재 노드가 이미 처리된적 있는 노드라면 무시 -> 방문이 되었는지 확인하는 것과 같은 원리
        # 현재 꺼낸 그 원소의 거리값(dist)이 테이블에 기록되어있는 값 보다 더 크다면 이미 처리된 것
        if distance[now] < dist:
        	continue
        # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
        for i in graph[now]: # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]: #현재 노드를 거쳐가는 것과 기존의 값을 비교
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0])) # (거리, 노드)
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(inf)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print('inf')
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

다익스트라 알고리즘: 개선된 구형 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)입니다.
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않습니다.
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있습니다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사합니다.
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있습니다.
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우(두 노드 사이에 오는간선 과 가는간선만으로 2개까지만 존재하는 경우)에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있습니다.(E <= V^2)
    • O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)

플로이드 워셜 알고리즘 개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산합니다.
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall)알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행합니다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않습니다.
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장합니다.(모든 노드에서 부터 모든 노드로 이동하는 최단 거리 정보 기록)
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속합니다.(점화식에 맞게 3중 반복문으로 2차원 테이블을 갱신합니다.)

플로이드 워셜 알고리즘

• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인합니다.
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사합니다.
• 점화식

플로이드 워셜 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

플로이드 워셜 알고리즘

INF = int(1e9) 

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n + 1)] # 1번 부터 출발 ~ n까지 사용할 것이므로

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # a에서 b로 가는 비용은 c라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c # a -----(c)-----> b
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1): # 거쳐가는 노드
    for a in range(1, n+1): # 출발 노드
        for b in range(1, n+1): # 도착 노드
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(inf)라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print(inf, end=' ')
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행합니다.
  • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려합니다.
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)입니다.

=> 노드의 개수가 500이 넘어가면 코딩테스트에서 사용하기 힘듬

장점: 모든 노드에서 모든 노드로 가는 비용을 쉽게 구할 수 있다.

문제1: 전보

문제 설명

• 어떤 나라에는 N개의 도시가 있다. 그리고 각 도시는 보내고자 하는 메시지가 있는 경우, 다른 도시로 전보를 보내서 다른 도시로 해당 메시지를 전송할 수 있다.
• 하지만 X라는 도시에서 Y라는 도시로 전보를 보내고자 한다면, 도시 X에서 Y로 향하는 통로(=간선)가 설치되어 있어야 한다. 예를 들어 X에서 Y로 향하는 동로는 있지만, Y에서 X로 향하는 통로가 없마녀 Y는 X로 메시지를 보낼 수 없다.(방향 그래프이다) 또한 통로를 거쳐 메시지를 보낼 때는 일정 시간이 소요된다.(각 간선에는 비용정보 있다)
• 어느 날 C라는 도시에서 위급 상황이 발생했다. 그래서 최대한 많은 도시로 메시지를 보내고자 한다. 메시지는 도시 C에서 출발하여 각 도시 사이에 설치된 통로를 거쳐, 최대한 많이 퍼져나갈 것이다.
• 각 도시의 번호와 통로가 설치되어 있는 정보가 주어졌을 때, 도시 C에서 보낸 메시지를 받게 되는 도시의 개수는 총 몇개 이며 도시들이 모두 메시지를 받는 데까지 걸리는 시간은 얼마인지 계산하는 프로그램을 작성하시오.

문제 조건

• 시간제한: 1초

문제 해결 아이디어

• 핵심 아이디어: 한 도시에서 다른 도시까지의 최단 거리 문제로 치환할 수 있습니다.
• N과 M의 범위가 크기 때문에 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘을 구현합니다.

답안

import sys
import heapq
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9)

def dijkstra(start):
    q = []
	#시작 노드로 가기위한 최단경로는 0으로 설정하고 (우선순위)큐에 삽입
    heapq.heappush(q,(0, start)) 
    distance[start] = 0

	# 큐가 비어있지 않다면
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q) # 거리가 가장 짧은 노드를 큐에서 꺼낸다.
        # 현재 노드가 이미 처리된적 있는 노드라면 무시 -> 방문이 되었는지 확인하는것과 같은원리
        # 현재 꺼낸 그 원소의 거리값(dist)이 테이블에 기록되어있는 값보다 더 크다면 이미 처리된것
        if distance[now] < dist:
        	continue
        # 아직 방문하지 않은 노드인 경우 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
        for i in graph[now]: # 현재노드와 연결된 다른 인접노드 
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]: #현재노드를 거쳐가는것과 기존의 값을 비교
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0])) # (거리, 노드)
                
# 노드의 개수, 간선의 개수, 시작 노드 번호 입력받기 
n, m, start = map(int, input().split())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for _ in range(n+1)] #0번은 취급하지 않기위해 n+1길이만큼 생성 -> 노드연결정보

# 최단거리테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1) # 최단거리테이블

#모든 간성정보를 입력받기
for _ in range(m):
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y,z)) #x에서부터 y까지 가는 거리가 z다
    # x -----(z)---> y

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0
max_distance = 0
for d in distance:
    # 도달할 수 있는 노드인 경우
    if d != INF:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)
        
# 시작 노드는 제외해야 하므로 count - 1을 출력
print(count - 1, max_dinstance)

문제: 미래 도시

문제 설명

• 미래 도시에는 1번부터 N번까지의 회사(=노드)가 있는데 특정 회사끼리는 서로 도로(=간선)를 통해 연결되어 있다. 방문 판매원 A는 현재 1번 회사에 위치해 있으며, X번 회사에 방문해 물건을 판매하고자 한다.
• 미애 도시에서 특정 회사에 도착하기 위한 방법은 회사끼리 연결되어 있는 도로를 이용하는 방법이 유일하다. 또한 연결된 2개의 회사는 양방향으로 이동할 수 있다. 공중 미래 도시에서 특정 회사와 다른 회사가 도로로 연결되어 있다면, 정확히 1만큼의 시간으로 이동할 수 있다.
• 또한 오늘 방문 판매원 A는 기대하던 소개팅에도 참석하고자 한다. 소개팅의 상대는 K번 회사에 존재한다. 방문 판매원 A는 X번 회사에 가서 물건을 판매하기 전에 먼저 소개팅 상대의 회사에 찾아가서 함께 커피를 마실 예정이다. 따라서 방문 판매원 A는 1번 회사에서 출발하여 K번 회사를 방문한 뒤에 X번 회사로 가는 것이 목표이다. 이때 A는 가능한 빠르게 이동하고자 한다.
• A가 회사 사이를 이동하게 되는 최소 시간을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

문제 조건

• 수행시간: 1초

문제 해결 아이디어

• 핵심아이디어: 전형적인 최단 거리 문제이므로 최단 거리 알고리즘을 이용해 해결합니다.
• N의 크기가 최대 100이므로 플로이드 워셜 알고리즘을 이용해도 효율적으로 해결할 수 있습니다.
• 플로이드 워셜 알고리즘을 수행한 뒤에 (1번 노드에서 K까지의 최단거리 + K에서 X까지의 최단 거리)를 계산하여 출력하면 정답입니다.

답안

INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)] # 1부터 n까지 사용

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1

# 거쳐 갈 노드 k와 최종 목적지 x를 입력받기
k, x = map(int ,input().split())
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for c in range(1, n+1): # 거쳐가는 노드
    for a in range(1, n+1): # 출발 노드
        for b in range(1, n+1): # 도착 노드
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][c] + graph[c][b])
# 수행된 결과를 출력
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

# 도달할 수 없는 경우, -1을 출력
if distance >= INF:
    print("-1")
# 도달할 수 있다면, 최단 거리를 출력
else:
    print(distance)