라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.
자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.
입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.
출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.
나는 처음에 무작정 가장 큰 제곱수를 빼주는 식으로 while문을 돌려서 개수를 구하는 방법으로 문제를 풀려고 했었다.
정답을 ans
라고 가정했다.
while i:
a = int(i ** 0.5) ** 2
i -= a
ans += 1
그런데 이렇게 하면 정답이 나오지 않는다.
예를 들면
11339
를 입력에 넣어보자.
원래 정답은 3인데 5가 나온다. 최소인 경우를 따로 체크해줘야한다는 뜻이다.
dp를 사용해서 입력 n보다 작은 수들의 최소 제곱수의 개수를 저장해놓아야한다.
최소 제곱수는 다음과 같은 점화식으로 구한다.
for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
dp[n] = min(dp[n], dp[i * i] + dp[n - i * i])
자기 자신 (n
) 보다 작은 제곱수의 dp값(dp[i*i]
)과 그 수를 뺀 것의 dp값(dp[n - i*i]
) 과 비교해서 더 작은 값으로 갱신해주는 것이다.
n = int(input())
dp = [0] * 50001
dp[1] = 1
for x in range(1, n + 1):
ans = 0
i = x
while i:
a = int(i ** 0.5) ** 2
i -= a
ans += 1
dp[x] = ans
for j in range(1, int(x ** 0.5) + 1):
dp[x] = min(dp[x], dp[j * j] + dp[x - j * j])
print(dp[n])