트리, 그래프

1. 트리

1-1 트리의 개요

트리 : 정점과 선분을 이용하여 사이클을 이루지 않도록 구성한 그래프의 특수한 형태

• 트리는 하나의 기억 공간을 노드라고 하며, 노드와 노드를 연결하는 선을 링크라고 함
• 트리는 가족의 계보, 조직도 등을 표현하기에 적합

트리 관련 용어

• 노드(Node) : 트리의 기본 요소로서 자료 항목과 다른 항목에 대한 가지를 합친 것
• 근 노드(Root Node) : 트리의 맨 위에 있는 노드
• 디그리(Degree, 차수) : 각 노드에서 뻗어나온 가지의 수
• 단말 노드(Terminal Node) = 잎 노드(Leaf Node) : 자식이 하나도 없는 노드, 즉 디그리가 0인 노드
• 자식 노드(Son Node) : 어떤 노드에 연결된 다음 레벨의 노드들
• 부모 노드(Parent Node) : 어떤 노드에 연결된 이전 레벨의 노드들
• 형제 노드(Brother Node, Sibling) : 동일한 부모를 갖는 노드들
• 트리의 디그리 : 노드들의 디그리 중에서 가장 많은 수

1-2 트리의 운행법

운행법(Traversal) : 트리를 구성하는 각 노드들을 찾아가는 방법

• 이진 트리를 운행하는 방법은 산술식의 표기법과 연관성을 가짐

이진 트리의 운행법 (Root 위치 확인하기)

• Preorder 운행 : Root ⇒ Left ⇒ Right 순으로 운행
• Inorder 운행 : Left ⇒ Root ⇒ Right 순으로 운행
• Postorder 운행 : Left ⇒ Right ⇒ Root 순으로 운행

1-3 수식의 표기법

산술식을 계산하기 위해 기억공간에 기억시키는 방법으로 이진 트리를 많이 사용한다. 이진 트리로 만들어진 수식을 인오더, 프리오더, 포스트오더로 운행하면 각각 중위, 전위, 후위 표기법이 된다.

• 전위 표기법(PreFix) : 연산자 ⇒ Left ⇒ Right, +AB
• 중위 표기법(InFix) : Left ⇒ 연산자 ⇒ Right, A+B
• 후위 표기법(PostFix) : Left ⇒ Right ⇒ 연산자, AB+

2. 그래프

2-1 그래프란?

그래프 : 노드와 노드 사이에 연결된 간선의 정보를 가지고 있는 자료구조

	그래프	트리
방향성	방향 그래프 혹은 무방향 그래프	방향 그래프
순환성	순환 및 비순환	비순환
루트 노드 존재 여부	루트 노드가 없음	루트 노드가 존재
노드간 관계성	부모와 자식 관계 없음	부모와 자식 관계
모델의 종류	네트워크 모델	계층 모델

그래프의 구현 방법 (두 방식은 메모리와 속도 측면에서 구별된다는 특징이 있음)

노드의 개수가 V, 간선의 개수가 E 인 그래프에서

• 인접 행렬(Adjacency Matrix) : 2차원 배열을 사용하는 방식
  • 간선 정보를 저장하기 위해서 O(V^2) 만큼의 메모리 공간이 필요
  • 특정 노드 A에서 다른 노드 B로 이어진 간선의 비용을 O(1) 시간으로 즉시 알 수 있음
• 인접 리스트(Adjacency List) : 리스트를 사용하는 방식
  • 간선의 개수만큼인 O(E)만큼만 메모리 공간이 필요
  • O(V)만큼의 시간이 소요

2-2 다양한 그래프 알고리즘

플로이드 워셜 알고리즘

• 인접 행렬을 이용하는 방식
• 모든 노드에 대하여 다른 노드로 가는 최소 비용을 V^2크기의 2차원 리스트에 저장한 뒤, 해당 비용을 갱신하여 최단 거리를 계산
• 최단 경로를 찾는 문제 출제 시, 노드의 개수가 적은 경우에는 이 알고리즘 이용!

다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 인접 리스트를 이용하는 방식
• 노드의 개수가 V개 일 때는 V개의 리스트를 만들어서 각 노드와 연결된 모든 간선에 대한 정보를 리스트에 저장
• 최단 경로 찾는 문제 출제 시, 노드와 간선의 개수가 많은 경우에는 우선순위 큐와 함께 사용

2-3 서로소 집합 자료구조

서로소 집합 자료구조 : 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

• union-find(합치기 찾기) 자료구조라고 불리기도 함
• 두 집합이 서로소 관계인지를 확인할 수 있다 == 각 집합이 어떤 원소를 공통으로 갖고 있는지 확인할 수 있다

서로소 집합 자료구조을 조작 가능하게 하는 2개의 연산

• union(합집합) : 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• find(찾기) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

서로소 집합 계산 알고리즘

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드를 확인한다.
   • A와 B의 루트 노드 A’ ,B’를 각각 찾는다
   • A’를 B’의 부모 노드로 설정한다
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 위의 과정을 반복한다.

⇒ 이것이 트리를 이용해 서로소 집합을 계산하는 알고리즘

서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x) :
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적 호출
    if parent[x] != x :
    	return find_parent(parent, parent[x])
    return x
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b) :
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b :
    	parent[b] = a
    else :
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1) :
	parent[i] = i
    
# union 연산을 각각 수행
for i in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1) :
	print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력
print('부모 테이블 : ', end='')
for i in range(1, v + 1) :
	print(parent[i], end=' ')

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

노드의 개수가 V개이고, 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 경로 압축 방법을 적용한 시간 복잡도는 O(V+M(1+log2-M/VV))

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있음

• 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있음

사이클 판별 알고리즘

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

• 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
• 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.

1. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 위의 과정을 반복한다.

서로소 집합을 활용한 사이클 판별 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x) :
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적 호출
    if parent[x] != x :
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b) :
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b :
    	parent[b] = a
    else :
    	parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1) :
	parent[i] = i
    
cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b) :
    	cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(union) 수행
    else :
    	union_parent(parent, a, b)
        
if cycle :
	print("사이클이 발생했습니다.")
else :
	print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

2-4 신장 트리

신장 트리(Spinning Tree) : 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미

• 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는 조건은 트리의 성립 조건이기도 함
  

2-5 크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘 : 최소 신장 트리 알고리즘의 대표적인 알고리즘

• 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있음
• 최소 신장 트리 알고리즘 : 신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘

최소 신장 트리 알고리즘

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.

• 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함
• 사이클이 발생할 경우, 최소 신장 트리에 포함시키지 않음

1. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복

크루스칼 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x) :
	# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적 호출
    if parent[x] != x :
    	parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b) :
	a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b :
    	parent[b] = a
    else :
    	parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1)	# 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1) :
	parent[i] = i
    
# 모든 간선에 대한 정보 입력받기
for _ in range(e) :
	a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))
    
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges :
	cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b) :
    	union_parent(parent, a, b)
    	result += cost
        
print(result)

크루스칼 알고리즘의 시간 복잡도

간선의 개수가 E개일 때, O(Elog)의 시간 복잡도를 가짐

• 크루스칼 알고리즘에서 시간이 가장 오래걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업
• E개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE)이기 때문
• 크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도 보다 작으므로 무시

2-5 위상 정렬

위상 정렬 : 방향 그래프의 모든 노드를 ‘방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것’

위상 정렬 알고리즘을 자세히 알기 전에, 먼저 진입차수를 알아야 함

• 진입차수 : 특정한 노드로 ‘들어오는’ 간선의 개수를 의미

위상 정렬 알고리즘

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

• 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

⇒ 큐에서 원소가 V번 추출되기 전에 큐가 비어버리면 사이클이 발생한 것

⇒ 사이클이 존재하는 경우, 사이클에 포함된 원소 중에서 어떤 원소도 큐에 들어가지 못하기 때문

위상 정렬 소스 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트(그래프) 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(e) :
	a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b)	# 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort() : 
	result = []	# 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque()	# 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1) :
    	if indegree[i] == 0 :
        	q.append(i)
            
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q :
    	# 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now] :
        	indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] = 0 :
            	q.append(i)
                
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
	print(i, end=' ')
    
topology_sort()

위상 정렬의 시간 복잡도

• O(V+E)
• 위상 정렬을 수행할 때는 차례대로 모든 노드를 확인하면서, 해당 노드에서 출발하는 간선을 차례대로 제거해야함
• 결과적으로 노드와 간선을 모두 확인한다는 측면에서 위와 같이 시간이 소요되는 것을 알 수 있음