최단 경로 알고리즘

• 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다를 참고하여 작성하였습니다.

최단 경로 알고리즘

: 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

• 주로 그래프를 이용해 표현
  • 각 지점은 노드로 표현
  • 지점 간 연결된 도로는 간선으로 표현

대표적인 알고리즘

• 다익스트라 최단 경로 알고리즘 ✨✨
• 플로이드 워셜 알고리즘 ✨✨
• 벨만 포드 알고리즘

다익스트라 알고리즘과 플로이드 워셜 알고리즘이 코테에 가장 많이 등장하는 유형이다.

다익스트라 최단 경로 알고리즘

: 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

• 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
  • 음의 간선 - 0보다 작으 값을 가지는 간선
• 그리디 알고리즘으로 분류됨
  • 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하기 대문

알고리즘의 원리

1. 출발 노드를 설정한다
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다
5. 3과 4번을 반복한다.

→ 각 노드에 대해 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 것이 큰 특징 !!

• 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 무한으로 초기화
  • 999,999,999와 같은 큰 값으로 설정

• 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산

• 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한 뒤 최소 비용 갱신
  • 3번의 거리가 5→4, 5번의 거리가 무한→2로 갱신됨

• 최단 거리가 같을 경우에는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택

✨ 이미 방문한 노드에 대해서는 최단 거리가 결정되어 바뀌지 않음 !!

간단한 다익스트라 알고리즘 코드

• O(V^2)의 시간 복잡도를 갖는다.
  • V는 노드의 개수
• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인한다. → 순차 탐색

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 1. 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받는다.
n, m = map(int, input().split())

# 2. 시작 노드 번호를 입력 받는다.
start = int(input())

# 3. 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만든다.
graph = [[] for i in range(n+1)]

# 4. 방문한 적 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만든다.
visited = [False] * (n + 1)

# 5. 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화한다.
distance = [INF] * (n + 1)

# 6. 모든 간선 정보를 입력 받는다.
for _ in range(m):
	# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 뜻
	a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))
   
# 7. 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
	min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n+1):
      if distance[i] < min_value and not visited[i]:
          min_value = distance[i]
          index = i
   return index
   
def dijkstra(start):
	# 시작 노드에 대해 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    	# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
        	cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j][0]:
            	distance[j][0] = cost
                
# 8. 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 9. 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
	# 도달할 수 없는 경우
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우
    else:
    	print(distance[i])

• 노드의 번호를 인덱스로 하여 리스트에 접근할 수 있도록 모든 리스트는 (노드의 개수+1)의 크기로 할당

개선된 다익스트라 알고리즘 코드

• 최악의 경우에도 O(ElogV)의 시간 복잡도를 보장한다.
  • V는 노드의 개수, E는 간선의 개수
• 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선형적으로 찾지 말고 다른 방법으로 찾아보자!
  → 힙(Heap) 자료구조를 사용
  • 우선순위 큐와 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조
  • 우선순위 큐 - 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
  • PriorityQueue 혹은 heapq를 사용하는데, 일반적으로 heapq가 더 빠름

• 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 사용하면 적합 !

  틈새 팁 🍀
  최소 힙을 최대 힙처럼 사용하려면?
  : 넣을 때는 (-)를 붙여서 넣었다가, 꺼낸 다음 다시 (-)를 붙여서 원래의 값으로 돌린다.

• (거리, 노드)를 튜플로 우선순위 큐에 넣는다.
  • 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐가 구성됨
  • 이 때 거리는 현재까지 계산된 최단 거리를 의미함

• 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 됨
• 이미 처리한 적이 있는 노드는 무시

• 위에서 (거리 1, 노드 4)인 원소를 꺼내고 → 4번 노드에 인접한 노드의 최단 거리를 갱신해준 결과이다.
  • 3번 노드와 5번 노드의 최단 거리가 갱신된 것을 알 수 있다.

• 다음으로 (거리 2, 노드 2)인 원소를 꺼내어 최단 거리를 갱신해준 결과이다.
• 위에 보면 노드 3에 대한 원소가 2개 있는데, 이미 방문한 적 있는 노드라면 스킵한다.

# 입력을 받는 코드와 결과를 출력하는 코드는 생략
import heapq

def dijkstra(start):
	q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
    	# 가장 짧은 거리의 노드의 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 처리된 적 있는 노드라면 무시
        # 방문 여부를 최단 거리 비교를 통해 구현
        if dist[now] < dist:
        	continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접 노드 확인
        for i in graph[now]:
        	# i[0] → 거리, i[1] → 노드 
        	cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
            	distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

• get_smallest_node() 메서드와 visited 배열을 사용하지 않음

플로이드 워셜 알고리즘

: 모든 지점에서 다른 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘

• 노드의 개수가 N개일 때 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O($N^2$)의 연산을 하므로 총 시간 복잡도는 O($N^3$)이다.
• 2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장
  • 모든 노드에 대해 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 담기 때문
• DP를 활용하여 점화식에 맞게 2차원 리스트 갱신

알고리즘의 원리

플로이드 워셜 알고리즘의 점화식은 아래와 같다.

아래 예시를 통해 플로이드 워셜 알고리즘을 이해해보자.

이 그래프를 인접행렬로 표현하면 아래와 같다.

1번 노드를 거쳐 가는 경우를 생각해보자.
1번 노드를 거쳐 가는 경우는 $_3P_2$ = 6가지 경우이다.


1️⃣ $D_{23}=min(D_{23}, D_{21}+D_{13})$

• 2번→3번 노드로 가는 비용보다 2번→1번→3번 노드로 가는 비용이 더 작다면, 그것으로 갱신

2️⃣ $D_{24}=min(D_{24}, D_{21}+D_{14})$
3️⃣ $D_{32}=min(D_{32}, D_{31}+D_{12})$
4️⃣ $D_{34}=min(D_{34}, D_{31}+D_{14})$
5️⃣ $D_{42}=min(D_{42}, D_{41}+D_{12})$
6️⃣ $D_{43}=min(D_{43}, D_{41}+D_{13})$

갱신을 한 뒤의 테이블은 아래와 같다.

이와 같은 과정을 2번, 3번, 4번 노드에 대해서도 진행하면 된다.

플로이드 워셜 알고리즘 코드

INF = 1e9 # 무한을 의미하는 변수

n = int(input()) # 노드의 개수
m = int(input()) # 간선의 개수

graph = [[INF]* (n+1) for _ in range(n+1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if a==b:
        	graph[a][b] == 0

# 간선에 대한 정보를 입력 받아 배열 초기화
for _ in range(m):
	# A에서 B로 가는 비용이 C
    a, b, c = map(int, input())
    graph[a][b] = c

# 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
	for a in range(1, n+1):
		for b in range(1, n+1): 
			graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k]+graph[k][b])
# 결과 출력
for a in range(1, n+1):
	for b in range(1, n+1):
    	if graph[a][b] == INF:
        	print("INFINITY", end = " ")
        else:
        	print(graph[a][b], end = " ")