문제

정수 4를 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은 총 7가지가 있다. 합을 나타낼 때는 수를 1개 이상 사용해야 한다.

1+1+1+1
1+1+2
1+2+1
2+1+1
2+2
1+3
3+1
정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 n이 주어진다. n은 양수이며 11보다 작다.

예제 입력

3
4
7
10

출력

각 테스트 케이스마다, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 출력한다.

예제 출력

7
44
274

풀이

예제에 점화식이 나와있는 문제.
양수이므로 시작은 1, 점화식이 아닌 값은 1일 때, 2일 때, 3일 때이다.
에제들을 보다보면 규칙이 보일 것이다. 가장 간단하게 구할 수 있는 규칙은, bottom-up 방식의 dp규칙이다.
규칙은 다음과 같다.

d[n-1]으로부터 "1" 더하기 : d[n-1]과 동일
d[n-2]으로부터 "2" 더하기 : d[n-2]과 동일
d[n-3]으로부터 "3" 더하기 : d[n-3]과 동일

즉, d[n-1] + d[n-2] + d[n-3] 을 모두 더하면 d[n]의 경우의 수를 구할 수 있다.
(d[n-2] + 1 + 1은 이와 같이 d[n-3]을 중간에 만드는 여러 경우들을 포함하여 d[n-3]과 중복이라고 생각하면 된다.)

점화식 d[n] = d[n-1] + d[n-2] + d[n-3] 임을 구하면, 예외처리 (점화식을 만들 수 없는 경우) 이후에는 점화식을 그대로 넣으면 답이 풀린다.

코드

import sys
input = sys.stdin.readline

T = int(input())


for _ in range(T):
    n = int(input())
    if n == 1:
        print(1)
        continue
    elif n == 2:
        print(2)
        continue
    dp = []
    for i in range(n):
        dp.append(1)
    dp[0] = 1
    dp[1] = 2
    dp[2] = 4
    for i in range(3, n):
        #dp[i] = (dp[i-1] + dp[0]) + (dp[i-2]+dp[1]) + (dp[i-3]+dp[2])
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
    print(dp[n-1])