[백준] 11444번 - 피보나치 수 6

📩 출처

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

👉 생각

• 처음에는 DP로 접근해서 메모리초과가 발생했다. 그래서 나름 슬라이딩 윈도우로 n이 증가할 때마다 DP의 값을 갱신해 주었는데, 시간초과가 발생했다.

• 결국 이 문제는 피보나치 수가 같는 특징을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 분할정복을 통해 구현해야 하는 문제였다. 아래 백준님이 정리해주신 설명을 보면 확인할 수 있다.
  

• 따라서 행렬의 거듭제곱을 이용하여 피보나치 수를 구하면 된다!

import sys
n = int(sys.stdin.readline())
arr = [[1, 1], [1, 0]]

def matrix(matrix1, matrix2):
    answer = [[0]*2 for _ in range(2)]
    matrix2 = list(zip(*matrix2))
    for i in range(2):
        for j in range(2):
            tmp = 0
            for k in range(2):
                tmp += matrix1[i][k] * matrix2[j][k]
            answer[i][j] = tmp % 1000000007
    return answer

check = {}
def power(base, exponent):
    if exponent == 1:
        for i in range(len(base)):
            for j in range(len(base)):
                base[i][j] %= 1000000007
        return base

    if exponent % 2:
        newbase = power(base, (exponent-1)//2)
        return matrix(matrix(newbase, newbase), base)
    else:
        newbase = power(base, exponent//2)
        return matrix(newbase, newbase)
arr = power(arr, n)
print(1) if n < 3 else print(arr[1][0])