[백준] 17626번 - Four Squares

📩 출처

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

👉 생각

• 처음에는 주어지는 숫자를 제곱수의 합으로 표현하기 위해 가장 큰 제곱수를 찾고 그 제곱수를 기반으로 다른 제곱수를 찾아 구했지만, 이 경우가 항상 최소 개수가 아니였다.
• 반례로 27362은 165**2 + 11**2 + 4**2 + 3**2으로 표현하면 답은 4가 되지만, 101**2 + 131**2으로도 표현할 수 있기에 답은 2가 되어야 한다.
• 또한 문제에서는 모든 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현해야 하기 때문에 답은 1 ~ 4가 되어야 한다.

1. n의 제곱근이 정수라면 최소 개수는 1이다.
2. 어떤 정수 i에 대해서 n - i**2의 제곱근이 정수라면 최소 개수는 2이다.
3. 어떤 정수 i와 j에 대해서 n - i**2 - j**2의 제곱근이 정수라면 최소 개수는 3이다.
4. 위 3개의 조건이 맞지 않으면 답은 4이다.

def solution(n):
    if int(n**0.5) == n**0.5:
        return 1
    for i in range(1, int(n**0.5)+1):
        if int((n-i**2)**0.5) == (n-i**2)**0.5:
            return 2
    for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):
        for j in range(1, int((n - i ** 2) ** 0.5) + 1):
            if int((n - i ** 2 - j ** 2) ** 0.5) == (n - i ** 2 - j ** 2) ** 0.5:
                return 3
    return 4
n = int(input())
print(solution(n))