컴퓨터 구조론 Lecture 3 - 3

D0Lim·2021년 1월 7일

컴퓨터 구조론

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이 글은 필자가 수업시간에 들은 내용과 강의록을 토대로 정리한 글입니다.
수업 필기이다 보니, 오류가 있거나 설명이 부족한 부분이 있을 수 있습니다.
궁금하신 점이나 지적하실 점이 있다면 댓글로 달아주세요! 확인 후 내용을 추가하거나 답변해드리도록 하겠습니다 :)

-2.34 \times 10^{56}

+0.002 \times 10^{-4}

+987.02 \times 10^{9}

이 3가지 예시를 들어보면, $-2.34 \times 10^{56}$ 는 일반화된 형식이고, 나머지는 일반화 되지 않은(not normalized) 형식이다.
이는 이진법에서도 똑같이 적용되는데, 다만 약간의 특징이 존재한다.

\pm 1.\mathrm{xxxxxxx}_{2} \times 2^{yyyy}

먼저, 일반화된 형식에서 소숫점 왼쪽은 무조건 0이 아닌 한 자리가 와야 하는데, 이진법에서는 0과 1만 있기 때문에 결과적으로 저 자리는 1로 고정(fixed)된다.
그리고, 뒤에서 설명하겠지만, xxxxxxx는 ‘Fraction’ 그리고 yyyy는 ‘actual exponent’라고 한다.
그럼 여기서 간단하게 생각해보자. 우리가 메모리에 써야하는 내용들은 어떤 것들이겠는가?
- 부호 그리고 xxxxxxx와 yyyy만 메모리에 쓰면 된다. 나머지들은 일반화된 형식에서 이진법의 성질 등에 의해 정해져 있기 때문이다.
부동 소수점을 표현하기 위한 자료형으로는 C언어에서는 float 와 double 이 있다.

1985년, IEEE 표준 754에 의해서 정의되었다.
표현이 점점 다양화 되는 것을 막기 위해 개발되었다. 표현이 다양해지면, 과학 등 결과를 분석하는 코드에 대한 이식성이 심히 떨어지기 때문이다.
최근에는 거의 공통적으로 채택되고 있다.
2가지 표현이 있다.
- 단정밀도(Single precision) (32비트) $\rightarrow$ C에서의 float
- 배정밀도(Single precision) (64비트) $\rightarrow$ C에서의 double

S : 부호 비트(Sign bit)
- 0 $\rightarrow$ 음수가 아님
- 1 $\rightarrow$ 음수
일반화된 유효 숫자(Normalized significand) = 1 + Fraction : 1 이상, 2 미만
- 일반화된 형식에서 소숫점 왼쪽은 무조건 0이 아닌 한자리가 와야한다는 것 때문에, 1이 맨 앞에 오게 된다. 따라서, 이 수는 명시적으로 나타내 줄 필요가 없다. (항상 1이니까!)
- 그리고 유효숫자(Significand)는 ‘1.’ 뒤에 Fraction을 붙인 것이다. 앞서 상술한 내용으로 미루어 볼 때, Fraction만 있어도 유효숫자를 복구할 수 있다.
지수(Exponent) : 우리가 생각하는 그 곧이곧대로의 지수가 아니다
- 여기서의 지수(위의 그림의 지수)는 실제 지수 + Bias 이다.
- Bias
  - 단정밀도(Single precision) (32비트)에서는 127이다.
  - 배정밀도(Double precision) (64비트)에서는 1023이다.
  - 이것을 더함으로써, 지수(Exponent)가 부호가 없음(unsigned)을 보장받을 수 있다.
- 앞으로, 실생활에서의 지수와 표현의 혼동을 배제하기 위해 영문 그대로 Exponent라고 기술하도록 하겠다.

Exponent 00000000과 11111111은 미리 특수한 수들을 표현하기 위해 예약되어 있다.
- Exponent == 0, fraction == 0 $\rightarrow$ 0
- Exponent == 255, fraction == 0 $\rightarrow$ $\pm \infty$ (무한대)
- Exponent == 255, fraction != 0 $\rightarrow$ NaN(숫자가 아님, Not a Number)
  - 이는 정의되지 않았거나 잘못된 연산의 결과를 나타낸다.
위의 내용은 기본 교양으로 알고 있으면 편할 듯 하다.
가장 작은 값
- Exponent : 00000001 $\rightarrow$ actual exponent = $1 - 127 = -126$
- Fraction : 000 $\cdots$ 00 $\rightarrow$ significand = 1.0
가장 큰 값
- Exponent : 11111110 $\rightarrow$ actual exponent = $254 - 127 = +127$
- Fraction : 111 $\cdots$ 11 $\rightarrow$ significand $\approx$ 2.0

Exponent 00000 $\cdots$ 000과 1111 $\cdots$ 1111은 미리 특수한 수들을 표현하기 위해 예약되어 있다. 또한, 이는 단정밀도 범위일 경우와 같다.
가장 작은 값
- Exponent : 00000000001 $\rightarrow$ actual exponent = $1 - 1023 = -1022$
- Fraction : 000 $\cdots$ 00 $\rightarrow$ significand = 1.0
가장 큰 값
- Exponent : 00000000001 $\rightarrow$ actual exponent = $1 - 1023 = -1022$
- Fraction : 000 $\cdots$ 00 $\rightarrow$ significand = 1.0