사용 목적, 특징(장단점), 과정
선형변환이란 원점 고정에 격자선은 직선을 유지할것
그리고 격자선 평행하고 같은 간격
변형자체를 보지 않고도 결과 확인가능
col_vec하나가 i_hat j_hat으로 생각
공간을 선형변환한다
composition ABx -> A(Bx) 개념적으로 생각할때
선형변환 2번
역행렬은 다시 변환 돌리기
det = 0 차원 축소하기 때문에 역행렬 존재 X
mxn 행렬은 n->m 차원 확장or 축소 개념
dotproduct 정사영
crossproduct 면적(flip되면 음수),det에 방향추가
내적은 선형변환되면 보존되지 않음, orthonormal(orthogonal) 추가되면 보존됨
cramer's rule -> x, y 방향으로 면적 변한양 구하기
D2/D 꼴이 나는 것
기준변경
inv(A)BA*x
Ax 우리 언어로 변환
BAx 변환
inv(A)BAx 다시 다른 언어로 변환
=> 우리에게 제니퍼의 변환 행렬을 제니퍼의 언어(기준)로 제공
결과값 가지고 제니퍼는 아!나는 얘가 선형변환 된 애구나 앎
중간 행렬은 선형변환
양쪽 행렬은 관점의 변환을 나타낸다고 생각
linear eq, vector, matrix 같은 것, 다른 표현
Augmented Matrix
Echelon form + Row/Reduced Echelon form
leading entry
Gauss Elimination
free variable 하나면 Span{v}, 2개면 Span{v, w}
Homogeneous Linear system Ax=0 은 Trival(자명한,사소한) 해인 x=0를 가지기 때문에 Nontrival sol을 가지려면 해가 무수히 많아야 함.(Free variable)
Nonhomogeneous sys Ax=b에서 해가 많은 경우
General sol x = particular sol + homogeneous sol = p + tv(p를 지나고 v에 평행한 직선, 2차원 벡터, free varibale 1개), t=0이 될 수 있어서 Ax=0 지나는 직선 만들어짐
독립과 종속(linear combination으로 표현되면 무조건),pivot 개수
m>n이면 볼것도 없이 column vector(dependent)
행렬은 선형변환이다.(그냥 벡터만 보든, 선형시스템에서 보든)
Ax => n(x가 2차원, domain) -> m(3차원 벡터로, codomain) / range치역은 판단필요
det는 선형변환한 영역
onto 해가 하나이상 존재 codomain = range , onetoone 해 없거나 한개
onto <-> columns of A span R^m
onetoone <-> columns of A indep( T(x)=Ax=0이면 trival sol만 갖는다)
행렬 곱셈은 순서가 중요, 교환법칙 성립 x 결합,분배법칙은 성립
A not invertible -> sigular matrix
A invertible -> nonsignula matrix
det 판단
[A I] gauss elimination
inv(A)의 첫번째 column을 구하는 것은 Ax1 = e1 해 구하는 것과 동일
A*inv(A) = I
[Ax1 Ax2 Ax3] =[e1 e2 e3]
Invertible 하다는 뜻은? square , Onto, OnetoOne
col_vec 모두 독립, Ax=0 trival 해 가짐
LU factorization
Col A(영역) = A의 Column이 span하는 영역, R^n
Nul A(영역) = Null space, Ax = 0의 모든 해
Basis 개념
dim A(수) = A의 basis 수
Rank A(수) = dim Col A
Nul...
영공간은 homogeneous linear eq의 해공간
선형변환 시켰을때(Ax) = 0으로 가는 벡터들의 공간
영공간의 차원은 Ax=0의 free variable의 개수이고, 열공간의 차원은 A의 피벗칼럼의 개수이다.
=> 행렬 A가 n개의 열을 가지면 Rank A + dim(Nul A) =n 이다
기저는 항상 선형독립
벡터x가A의 널 공간에 속한다는 것은, 행렬A의 모든 행,열 벡터와 직교하는 벡터임을 의미합니다.
Trianglar matrix det 기교
det(AB)=det(A)det(B)
det A^T = detA
Cramer's rule: 해 구하기 inv(a) 구하기
inv(a) 구하는 거 뭐가 더 시간복잡도가 높지?
Eigenvalue Eigenvector 서로 독립?
선형변환값이 같은 벡터들 -> eigenvector
선형변환값 -> eigenvalue
lambda*I가 정확한 표현
Rotation같은 건 고유벡터 없음 람다=허수가 되버림
고유벡터를 기저벡터로 쓰고 싶을때
고유벡터-1 선형변환행렬 고유벡터할때 고유값D(기저벡터)나옴
즉 고유벡터-> 기저벡터로 바꾸는 느낌
=>선형변환행렬 제곱 100번하는것보다 고유기저로 제곱 100번하고 원래계로 전환하는것이 이득
eigenvalue는 matrix에 주어지는 고유값
고유벡터(eigenvector)가 서로 독립인지 여부는 고유값에 따라 다름
서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 항상 선형독립입니다.
중복된 고유값에 대응하는 고유벡터들은 선형독립일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.
-> 응용 diagnalization
하나의 람다에 2개이상의 indep eigenvector 가능
여기 좀 공부해야 할 듯
(Ax=0에 국한되는 얘기)0이 아닌고유벡터를 가지려면 행렬식 0
고유벡터는 0되면 안됨, 고유값은 0 가능
det(A-lambdaI)*x=0 처럼 얘는 행렬식이 0이어야 함.
=> 고유벡터의 존재 여부는 행렬식이 0인지 아닌지와는 무관
즉 eigenspace는 A-lambdaI의 null space
eigenspace={0,eigenvectors}
eigenvalue=0의 의미 <-> A not invertible
하나의 고유값에 해당하는 고유벡터는 무수히 많다
서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 다르며 서로 독립니다
선형독립(basis조건)이 직교한다는 것은 아니다
직교 -> 선형독립
선형독립 -> 직교 X
스펙트럼 분해? 행렬 A가 대칭행렬인경우 사용되는 대각화. 대각화 + 그람-슈미트 -> 스펙트럼분해
1고유값 고유벡터 구하고
2그람슈미트로 고유벡터 직교벡터로 바꾸고 대각화형태로 표현
대칭행렬 : 전치해도 동일
직교행렬 : 전치행렬곱하면 단위행렬. 행끼리 내적, 열끼리 내적하면 0, 행벡터/열벡터 크기가 모두 1
-> 전치행렬이 곧 역행렬
장점: 기존 대각화처럼 역행렬구하는것보다 전치행렬 구하는것이 용이
행렬 분해Decomposition 방법 다양
SVD 정방행렬이 아닌 일반행렬에도 가능
특이값 크기 내림차순,양수
특이값, (A*A^T의 고유값에서 루트)
응용1차원축소2노이즈제거3행렬연산4조건수계산
1상위 k개의 특이값에 대응하는 U와V 열벡터만으로 근사행렬만듬
2작은 특이값 노이즈로 간주해서 제거
3역행렬계산이나 유사역행렬 계산
4행렬의 조건수, 조건수는 행렬의 특이값 중 최대값최소값의 비율로 정의 -> 행렬의 안정성과 수치적 문제 민감도 나타냄
정규고유벡터특이값정규직교행렬
그람슈미트, QR Factorization, LS
그람-슈미트
임의의 벡터 집합으로부터 직교집합 구하는 과정
한 벡터를 다른 벡터에 projection하여 직교집합 구할 수있음
+Orthonormal
케일리-해밀턴정리
미분도 행렬로 표현가능(미분도 선형연산자라서)
미분도 선형변환이다
일반적인 시스템(ex 선형배운거 다 적용할수 있음) 선형공리들
superposition + 그 파생
공리가 만족하는지 확인하면 됨
그래서 모든 책에서 선형변환개념보다는 합과 실수배로 정의하고 있는 이유
1. 주성분 분석, PCA(Principal Component Analysis)
- 정의: 분산이 최대화되는 방향으로 데이터를 줄임으로써, 데이터의 주요 패턴을 캡처하며 차원을 줄이는 기법
- 특징
a. 비지도 학습
b. 차원 축소
- 정의: 데이터의 차원을 줄이는 것.
- 목표: 데이터의 정보 손실을 최소화
- 장점: 계산 효율성 증가, 데이터 시각화, 노이즈 제거, 과적합 해결
- 단점: 정보가 손실되며 under-fitting이 발생할 수 있음 - 과정
- 평균 계산 → 데이터 중심화 → 공분산 행렬 계산 → 고유값, 고유벡터 추출 → 주성분 선택
2. 최소제곱법, LS(Least-Squared Method)
쿼터니언은 이 Gimbal Lock 문제를 어떻게 해결할까?
쿼터니언은 정확히는 Gimbal Lock 문제를 해결하진 못한다. 다만 오일러 각을 사용해 회전을 표현할 때보다 Gimbal Lock 문제를 최소화시킬 수 있다. 쿼터니언은 4차원 복소수 공간의 벡터로 마찬가지로 벡터 공간에서의 회전을 표현하는 역할을 한다. 쿼터니언은 다음과 같은 형태를 가진다.
짐벌락 문제 - 오일러각은 각 축에 의존적
크게 보자면 쿼터니언 q는 xi + jy + zk는 벡터 요소, w는 스칼라 요소로 구성된다. i, j, k는 각각 x, y, z 축을 나타내는 허수 단위 벡터다. 이러한 쿼터니언은 4개의 요소로 구성되어 4차원 공간에서 회전을 표현한다. 이렇게 회전을 4차원으로 표현하는 쿼터니언은 세 개의 축을 사용하는 3차원 오일러 각과 달리 축의 의존성을 없애고 독립성을 가져오는 데 도움을 준다. 쿼터니언의 수식적 표현으로 파고들어 쿼터니언의 4차원 구조와 회전 연산 수식에 내재된 특성으로 짐벌락 문제를 해결하는 원리를 이해하는 데 도움될 수 있다 생각드나 짐벌락 문제 자체는 직관적으로 이해하는 것이 더 직접적이란 생각이 든다.
